Exercice I : Découverte d'une exo-planète habitable ( 5,5 points )

Liban 2008 Exercice I : Découverte d'une exo-planète habitable ( 5,5
points )
Correction © http://labolycee.org & N.Groussard
Première partie : cette étude se fera dans un référentiel, considéré comme
galiléen, lié au centre de la planète C.
1. Étude de la gravitation à la surface de la planète C.

1.
(0,25)





2. (0,25) F = [pic]
3. (0,25) g = [pic] = [pic] à la surface de la planète h = 0
m donc : g0 = [pic]
1. Vitesse d'un satellite de la planète C
1. (1) D'après la deuxième loi de Kepler (loi des aires), le rayon
vecteur [pic] (reliant les centres de A et C) balaye des surfaces
égales pendant des intervalles de temps égaux. L'orbite de A étant
circulaire, on en déduit que le mouvement est uniforme.
Dans le référentiel galiléen lié au centre de la planète C, la deuxième loi
de Newton appliquée à l'objet A donne : [pic]
En considérant le vecteur unitaire [pic] dirigé vers le centre de la
planète :
[pic] et [pic]
en reportant : [pic] = [pic]
en projection sur l'axe porté par le vecteur unitaire [pic] et en
simplifiant par m et par [pic], il vient : [pic] soit
finalement : V1 = [pic]
2. (0,25) Si h est négligeable devant Rc alors (RC+ h) ( RC[pic]et
V1 = [pic]
3. (0,25) Pour la planète de masse M et de rayon R , la vitesse de
libération V2 a pour expression
V2 = [pic] et varie donc comme [pic] .
Avec G et M = Ctes , si R augmente alors V2 diminue.

1. (0,25) On a établi en 1.3. : g0 = [pic] donc G.MC = g0.[pic]
En reportant dans V2 = [pic] il vient : V2 = [pic] Soit
finalement : V2 = [pic]
2. (0,25) V2 = [pic]= 2,1.104 m.s-1 = 21.103 m.s-1 = 21 km.s-1
vitesse de libération (0,25) supérieure à celle sur Terre car V2 >
11,2 km.s-1.
4.3. (0,25) Une atmosphère est composée d'un mélange de gaz, donc de
molécules soumises à l'agitation thermique. Cette agitation thermique
augmente avec la température. En imaginant qu'on puisse augmenter la
température à la surface de la planète, ces molécules viendraient à avoir
une vitesse supérieure à la vitesse de libération, et donc à s'échapper
définitivement de la planète ; la planète perdrait son atmosphère.
Si la planète C a une température voisine de celle de la Terre, alors,
puisque la vitesse de libération y est supérieure, elle conserve son
atmosphère.

Deuxième partie : étude dans un référentiel, considéré comme galiléen, lié
au centre de l'étoile E.
1. (0,25) Dans l'expression V = [pic] , la lettre M représente la masse
de l'étoile autour de laquelle tourne la planète.
2. Rayon de la trajectoire de la planète B
2.1. (0,25) Troisième loi de Kepler : le carré de la période de révolution
T de la planète autour de son étoile est proportionnelle au cube du rayon r
de sa trajectoire :
T² = k ( r3 où k est la constante de proportionnalité.
Remarque : cette expression n'est valable que dans le cas d'un mouvement
circulaire. Si la trajectoire est une ellipse, on a T² = k(a3 où a est le
demi-grand axe.
2.2. (0,25) Pour tout corps en orbite autour de l'étoile E, la constante de
proportionnalité k a la même valeur.
Utilisons les données relatives à la planète C pour la déterminer : k =
[pic] avec Tc en jour et rc en U.A,
il vient : k = [pic] = 4,35.105 d2.(U.A)-3. Avec la planète D, on
obtient la même valeur.
2.3. (0,5) On a : k = [pic]= [pic] donc il vient [pic] soit rb = [pic] =
[pic]
rb = [pic]= 4,04 ( 10-2 U.A.
Remarque : comme la planète B a la période de révolution la plus petite, il
est normal que le rayon de sa trajectoire soit également le plus petit.

Voir l'animation http://astro.unl.edu/naap/pos/animations/kepler.swf

Troisième partie : Détection de l'eau dans l'atmosphère des planètes.

1. (0,25) « L'énergie des molécules est quantifiée » car les niveaux
d'énergie des molécules ne peuvent prendre que des valeurs discrètes bien
déterminées.

2. (0,25) Les longueurs d'onde des radiations visibles sont comprises entre
400 nm et 800 nm soit entre 0,400 µm et 0,800 µm. Les longueurs d'onde des
radiations absorbées étant supérieures à 1,0 µm, ces radiations
n'appartiennent pas au domaine du visible. (remarque : elles appartiennent
au domaine infrarouge)

3. E1 - E0 = h.( avec E0 = 0 eV (niveau fondamental)
Et c = (.( donc : E1 = [pic]
(0,25) ( ( = [pic]
en exprimant l'énergie E1 en joule il vient :
(0,25) ( = [pic] = 6,2.10-6 m = 6,2 µm , on vérifie bien que ( > 1,0
µm.
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[pic]

Rc

h

Mc

Objet A

Planète C

m

[pic]