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|00 | | | | | | | | | | | |
|Grenoble |x |x | | | | | | |x | |x |
|00 pb | | | | | | | | | | | |
|Nancy 00 | | | |x |x | | | | |x |x |
|pb | | | | | | | | | | | |
|Orléans 00| |x |x | | | | | | |x |x |
|pb | | | | | | | | | | | |
|Caen 00 | | | | | |x | | |x | | |
|Paris 00 | | |x | | | | | |x | |x |
|pb | | | | | | | | | | | |
|Bordeaux | | | | | |x | | |x | | |
|01 | | | | | | | | | | | |
|Grenoble | |x | | | | | | | | | |
|01 | | | | | | | | | | | |
|Paris 01 | | | |x | | |x | | | | |
|Lyon 01 pb| | | |x |x | | | | |x | |
|Nice 01 | | |x | | | | |x |x | | | Exercice : Bordeaux 00 tableau thématique
Un aquarium a la forme d'une calotte sphérique de centre O (voir schéma
joint ci-après), qui a pour rayon R = 12 et pour hauteur h = 19,2 (en
centimètres).
1. Calculer la longueur OI puis la longueur IA.
2. Le volume d'une calotte sphérique est donné par la formule :
V = (3R - h)
où R est le rayon de la sphère et h la hauteur de la
calotte sphérique. Calculer une valeur approchée du volume de cet aquarium au cm3
près.
3. On verse six litres d'eau dans l'aquarium. Au moment de changer
l'eau de l'aquarium, on transvase son contenu dans un récipient
parallélépipédique de 26 cm de longueur et de 24 cm de largeur.
Déterminer la hauteur x d'eau dans le récipient ; arrondir le
résultat au mm Corrigé :
1/ OI = h - R = 19,2 - 12 = 7,2.
Dans le triangle OIA rectangle en I, le théorème de Pythagore donne :
OA2 = OI2 + IA2.
Donc IA2 = 122 - 7,22 = 92,16 et IA = = 9,6 cm.
2/ V = (3R - h) = (3(12 - 19,2) = 2064,384( ( 6485 cm3 (soit
environ 6,5l).
3/ On doit avoir 6000 = 24(26(x. Soit x = = ( 9,6 cm. Exercice : Grenoble 00 tableau thématique
L'unité est le centimètre.
Un jouet a la forme d'une demi-boule surmontée d'un cône de révolution de
sommet A, comme l'indique la figure ci-contre.
Le segment [BC] est un diamètre de la base du cône ; le point O est le
centre de cette base.
On donne AB = 7 et BC = 6 . 1. a) Construire en vraie grandeur le triangle rectangle AOB.
b) Calculer la valeur exacte de AO.
c) Calcule la valeur exacte du sinus de l'angle [pic]);BAO).
En déduire une mesure de l'angle [pic]);BAO) (on donnera le résultat
arrondi au degré près).
2. Calculer le volume de ce jouet, cône et demi-boule réunis (on donnera le
résultat arrondi au cm3 près). Corrigé :
1/ a) Voir ci-contre.
b) Le triangle AOB est rectangle en O, et O est le milieu de [BC].
Donc AO2 = BA2 - BO2 = 72 - 32 = 49 - 9 = 40 donc AO = .
c) sin [pic]);BAO) = = donc [pic]);BAO) 25°
2/ ( 33) + [pic] 116
Le volume de ce jouet est environ 116 cm3.
Exercice : Grenoble 00 (problème) tableau thématique
Un artisan réalise des boites métalliques pour un confiseur. Chaque boite a
la forme d'un parallélépipède rectangle à base carrée ; elle n'a pas de
couvercle.
L'unité de longueur est le cm ; l'unité d'aire est le cm2 ; l'unité de
volume est le cm3.
PARTIE A Les côtés de la base mesurent 15 cm, la hauteur de la boite mesure 6 cm.
1. a) Préciser la nature des faces latérales de la boite et leurs
dimensions.
b) Montrer que l'aire totale de la boite est 585 cm2.
2. L'artisan découpe le patron de cette boite dans une plaque de métal de
0,3 mm d'épaisseur.
La masse volumique de ce métal est 7 g/cm3, ce qui signifie qu'un
centimètre cube de métal a une masse de 7 grammes.
Calculer la masse de cette boite.
PARTIE B 1. Calculer le volume de cette boite.
2. Le confiseur décide de recouvrir exactement le fond de la boite avec un
coussin.
Ce coussin est un parallélépipède rectangle. Le côté de sa base mesure
donc 15 cm et on note x la mesure, en cm, de sa hauteur variable (x est
un nombre positif inférieur à 6).
a) Exprimer, en fonction de x, le volume du coussin.
b) Exprimer, en fonction de x, le volume que peuvent occuper les bonbons
dans la boite.
3. On considère la fonction affine : f : x ) 1350 - 225 x.
a) représenter graphiquement cette fonction affine pour x positif et
inférieur à 6 (on prendra 2 cm pour unité sur l'axe des abscisses et 1 cm
pour 100 unités sur l'axe des ordonnées). Dans la pratique, x est compris entre 0,5 et 2,5. b) Colorier la partie de la représentation graphique correspondant à
cette double condition.
c) Calculer f(0,5) et f(2,5).
d) On vient de représenter graphiquement le volume que peuvent occuper
les bonbons dans la boite.
Indiquer le volume minimal que peuvent, dans la pratique, occuper les
bonbons.
PARTIE C A l'occasion d'une fête, le confiseur partage chacune de ses boites en
trois compartiments, pour y mettre trois sortes de bonbons. Pour cela, il
supprime le coussin et place deux séparations verticales comme le montre
les figures ci-dessous.
Calculer la longueur EF.
1. Indiquer la forme et les dimensions des deux séparations verticales
placées dans la boite.
2. Deux compartiments sont des prismes droits à base triangulaire.
a) Montrer que le volume du prisme de base CEF est 324 cm3.
b) Calculer le volume du compartiment central.
Corrigé : PARTIE A 1/ a) Les faces latérales sont des rectangles de 15 cm sur 6 cm..
b) 15 15 + 4 15 6 = 585 donc l'aire de la boite est 585 cm2
2/ 585 0,03 = 17,55 donc le volume de métal est 17,55 cm3.
17,55 7 = 122,85 donc la masse' de la boite est 122,85 g.
PARTIE B 1/ 15 15 6 = 1350 donc le volume de la boite est 1350 cm3.
2/ a) 15 15 x = 225 x donc le volume du coussin est 225 x cm3.
b) Les bonbons peuvent occuper 1350 - 225 x cm3 dans la boite.
3/ a) et b) Voir à la fin.
c) f(0,5) = 1350 - 225 0,5 = 1237,5 et f(2,5) = 1350 - 225 2,5 =
787,5.
d) Le volume occupé par les bonbons est minimal quand le coussin est
le plus épais, soit donc 2,5 cm, donc le volume minimal est 787,5 cm3.
PARTIE C 1/ Le triangle EFC est rectangle en C donc
EF2 = EC2 + CF2 = 92 + 122 = 81 + 144 = 225 donc EF = = 15.
Les séparations sont des rectangles de côtés 15cm et 6 cm.
2/ a) 12;2)) 6 = 324 donc le volume du prisme de base CEF est 324
cm3.
b) 1350 - 324 2 = 702 donc le volume central est 702 cm3. Exercice : Nancy 00 (problème) tableau thématique
PARTIE 1 La partie supérieure d'un verre a la forme d'un cône de 6 cm de diamètre de
base et de hauteur AS = 9cm. 1/ Montrer que le volume du cône est 27( [pic].
2/ On verse un liquide dans ce verre (comme indiqué ci-contre), le
liquide arrive à la hauteur du point H.
a/ On suppose que HS = 4,5 cm. La surface du liquide est un disque.
Calculer le rayon HC de ce disque (on justifiera les calculs).
b/ Exprimer en fonction de ( le volume correspondant du liquide en
[pic].
c/ On pose maintenant HS = x (en centimètres). Montrer que le rayon HC
de la surface du liquide est égal à : [pic]. Montrer alors par le
calcul que le volume , V, de liquide est donné par la formule : [pic]
[pic].
d/ En utilisant la formule précédente, calculer le volume de liquide
lorsque : HS = 3 cm puis lorsque HS = 6 cm. PARTIE 2 On verse ensuite le liquide contenu dans ce cône dans un verre
cylindrique de même section de 6 cm de diamètre et de même hauteur 9 cm
(figure ci-contre).
1/ Montrer que le volume total du cylindre est 81( [pic]Combien de
cônes remplis à ras bord faudra-t-il ainsi vider pour remplir le
cylindre ?
2/ On désigne par y la hauteur en cm de liquide contenu dans le cylindre
(y = GF sur le dessin).
3/a/ Montrer que le volume , en [pic], du liquide contenu dans le cylindre
est 9( y.
b/ Montrer que lorsqu'on verse, dans le cylindre , le volume [pic] [pic]
du liquide contenu dans le cône, la hauteur y obtenue est reliée à x
par la relation : [pic].
c/ Recopier et remplir le tableau suivant où x et y sont reliés par la
relation précédente (on donnera les valeurs décimales approchées de y,
avec trois décimales exactes. |x |0 |1 |2 |3 |4 |5 |6 |7 |
|y | | | | | | | | | d/ Représenter graphiquement les huit points obtenus dans le tab