Exercice I

Bac S 2013 Métropole http://labolycee.org
EXERCICE II - PRINCIPE DE FONCTIONNEMENT D'UN GPS (10 points)
Le nom officiel du GPS (Global Positioning System) est originellement
NAVSTAR (Navigation System by Timing and Ranging). Il fut imaginé et mis au
point par le département de la défense américaine qui envoya dans l'espace
la première génération de satellites à partir de 1978. Depuis lors, celui-
ci a largement fait ses preuves et le système GPS actuel comporte une
trentaine de satellites en orbites quasi circulaires faisant inlassablement
deux révolutions par jour autour de la Terre. Données :
> Célérité de la lumière dans le vide ..........c = 3,00 × 108 m.s-1
> Altitude moyenne des satellites GPS ......h = 2,00 × 104 km
> Masse de la Terre ..............................MT = 5,98 × 1024 kg
> Rayon de la Terre ..............................RT = 6,38 × 103 km
> Constante de gravitation universelle ......G = 6,67 × 10-11 m3.kg-1.s-
2
> 1 octet = 8 bit |Document. Fonctionnement général du GPS |
| |
|Principe de la localisation |
|On peut déterminer la position d'un point à partir de sa distance à |
|d'autres points. Par exemple, supposons que nous soyons perdus quelque part|
|en France, si nous passons devant un panneau indiquant que Paris est à 150 |
|km sans en donner la direction, nous sommes situés quelque part sur un |
|cercle centré sur Paris et de rayon 150 km. Si par ailleurs un autre |
|panneau nous indique Orléans 230 km, nous sommes sur un cercle centré sur |
|Orléans et de rayon 230 km. Il suffit donc de tracer ces deux cercles et de|
|voir où ils se coupent. Généralement, ils se coupent en deux points (Dieppe|
|et Sainte-Menehould dans notre exemple) et nous avons donc besoin d'une |
|troisième indication afin d'éliminer l'un des deux points. |
| |
|Mesure de la distance satellite/récepteur |
|Un satellite GPS envoie très régulièrement un signal électromagnétique |
|indiquant l'heure de l'émission du signal de manière très précise, ainsi |
|que des informations sur la position du satellite. Le récepteur n'a plus |
|qu'à comparer l'heure de réception à celle de l'émission pour calculer le |
|temps de parcours du signal et en déduire la distance le séparant du |
|satellite. |
|Pour bénéficier d'une précision de 10 m dans la direction de propagation du|
|signal électromagnétique envoyé par un satellite GPS, le récepteur GPS doit|
|mesurer la durée de trajet de ce signal avec une précision d'environ 30 ns.|
|Cette précision extrême nécessite de prendre en compte des effets |
|relativistes. La non prise en compte de ces effets entrainerait une avance |
|des horloges des satellites sur les horloges terrestres d'environ 38 ?s par|
|jour. |
| |
|Caractéristiques du signal GPS |
|Les informations sont envoyées par le satellite sous la forme d'un signal |
|binaire avec un débit très faible : 50 bit.s-1. Dans la pratique, le GPS |
|garde en mémoire les paramètres du calcul de position reçus avant son |
|dernier arrêt et reprend par défaut ces paramètres, lors de sa mise en |
|marche. Ainsi, la mise à jour est d'autant plus rapide qu'on utilise son |
|GPS fréquemment. |
|En réalité, le récepteur GPS reçoit en permanence des informations de |
|plusieurs satellites, sur une même fréquence. Pour distinguer les |
|satellites les uns des autres, on a attribué à chacun un code, appelé code |
|C/A qui se présente sous la forme de séquences binaires répétées de 1 et de|
|0. Le message GPS est superposé à ce code et, lors de la réception du |
|message, le récepteur pourra, grâce au code, identifier le satellite source|
|et traduire le signal pour en connaitre le message. |
|La superposition du code C/A et du message consiste simplement à inverser |
|les 0 et les 1 du code lorsque le bit du message vaut 1 et à ne pas les |
|modifier lorsque le bit du message vaut 0. Un exemple de signal reçu par le|
|GPS est présenté en ANNEXE 2. |
| |
|d'après science.gouv.fr |
1 À propos de la localisation
Sortant tout juste d'une ville française, un automobiliste voit un panneau
indiquant Lyon à 240 km et Nancy à 340 km. Déterminer graphiquement, à
l'aide de la carte fournie en Annexe 1 À rendre avec la copie la ville où
il se trouve. Justifier. 2 Étude du mouvement d'un satellite
Le mouvement du satellite est étudié dans le référentiel géocentrique
supposé galiléen. Ce référentiel est associé au centre de la Terre ainsi
qu'à trois étoiles lointaines, considérées comme fixes.
1 En supposant que son orbite est circulaire, montrer que le mouvement d'un
satellite GPS de masse m est uniforme. 2 Montrer que l'expression de la vitesse du satellite est v = [pic] et
déterminer sa valeur numérique. 3 Établir l'expression de la période de révolution d'un satellite GPS.
Calculer sa valeur et vérifier qu'elle est compatible avec
l'information du texte d'introduction.
3 Précision des mesures 1 Justifier par le calcul la phrase suivante : « Pour bénéficier d'une
précision de 10 m dans la direction de propagation du signal
électromagnétique envoyé par un satellite GPS, le récepteur GPS doit
mesurer la durée de trajet de ce signal avec une précision d'environ 30
ns. » 2 Quelle est la durée de parcours du signal électromagnétique ? En déduire
la précision relative sur la mesure de cette durée. 3 Si on ne tenait pas compte des effets relativistes, quel serait le
décalage temporel entre les horloges terrestres et celles du satellite
GPS au bout d'une journée ? En déduire la durée nécessaire pour que les
horloges terrestres et celle du satellite GPS soient significativement
désynchronisées, c'est-à-dire pour qu'elles soient décalées de 30 ns.
4 Étude du signal GPS 1 Sachant que le message GPS contenant les paramètres de calcul a une
taille d'environ 4,5 ko, calculer la durée nécessaire à l'envoi de
l'intégralité de ce message par le satellite lors de la mise en marche
du GPS. Commenter cette durée surprenante en s'appuyant sur le document
« Fonctionnement général du GPS ». 2 En Annexe 2 À rendre avec la copie est donné un exemple de message GPS et
de code C/A. Compléter cette annexe par 0 ou 1 en effectuant la
superposition « message + code » comme cela est indiqué dans le
document « Fonctionnement général du GPS » page 5.
ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE ANNEXE 1 DE L'EXERCICE II
Carte de France
[pic]
ANNEXE 2 DE L'EXERCICE II
Message GPS et code C/A
[pic]
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Allure des orbites
des satellites GPS 100 km