corrections des exercices sur les nombres derives ... - Warmaths

Questionnaire |Travaux auto formatifs | | |CORRECTIONS DES EXERCICES SUR
LES NOMBRES DERIVES-FONCTIONS DERIVEES-UTILISATION Exercice n°1 1°) D'après le formulaire : (''(x) = 2x. Ainsi ('(2) = 2(2 = 4
2°) 3°)
Le nombre dérivée correspond à la valeur du coefficient directeur de la
tangente à la courbe au point d'abscisse 2 ( point de coordonnées ( 2 ; 4 )
sur la courbe.
Pour construire cette tangente, on se place au point C( 2; 4 ).
D'une manière générale, le coefficient directeur d'une droite signifie que
lorsque l'abscisse d'un point situé sur la droite augmente de 1, alors son
ordonnée augmente de la valeur du coefficient directeur.
Dans notre cas, la valeur du coefficient directeur de cette tangente est de
('(2)=4.
Pour tracer la tangente, il suffit de partir du point C de se déplacer de 1
unité vers la droite ( l'abscisse augmente de 1) et, pour trouver un autre
point de la tangente il faut monter de 4 ( l'ordonnée augmente de 4 car 4
est positif). On utilise ainsi la propriété du coefficient directeur d'une
droite pour la tracer rapidement. Exercice n°2 En utilisant la propriété du coefficient directeur d'une droite, on va
déterminer le coefficient directeur de chacune de ces tangentes. Graphique de Gauche Tangente en A : On se place en A, on se déplace de 1 vers la droite. Pour
retrouver un autre point de la tangente il faut "monter" de 3 unités : le
coefficient directeur de la tangente est 3. Tangente en B : même raisonnement : A partir de B on se déplace de 1 vers
la droite, pour retrouver u point il faut monter de 0,5 : Le coefficient
directeur est 0,5.
Tangente en C : Etant donné la configuration du graphique, pour
déterminer le coefficient directeur l faut ici partir du point de
coordonnée (1;4) de la tangente. Pour retrouver un autre point après s'être
déplacé de 1 vers la droite il faut "descendre de 4 : le coefficient
directeur est -4.
Graphique de droite Tangente en A : Le coefficient directeur est : -2
Tangente en B : le coefficient directeur est : -0,7
Tangente en C : C'est une tangente horizontale donc son coefficient
directeur est 0. Exercice n°3 Fonction ((x) = 2x²-8x-5 sur [-5 ; 5 ] ('(x) = 4x - 8 Etudions par exemple pour quelles valeurs de x, 4x - 8 > 0 il faut résoudre
cette inéquation : Donc, pour x >2, 4x - 8 > 0 d'où ('(x) > 0. Il est évident que si x < 2
alors 4x-8 < 0 d'où ('(x) < 0 et que pour x = 2, 4x - 8 = 0 d'où ('(x) =
0.
Le tableau de variation de ( est |Valeurs de|-5 2 5 |
|x | |
|Signe de |Négatif 0 Positif |
|('(x) | |
|Variation | |
|de ( | |
Fonction -x²+3x+5 sur [-2 ; 2] ('(x)= -2x + 3 Etudions par exemple pour quelles valeurs de x, -2x + 3 > 0 il faut
résoudre cette inéquation : Donc, pour x 0 d'où ('(x) > 0. Il est évident que si x >
1,5 alors -2x+3 < 0 d'où ('(x) < 0 et que pour x = 1,5, -2x+3 = 0 d'où
('(x) = 0. Le tableau de variation de ( est |Valeurs de|-2 1,5 2 |
|x | |
|Signe de |Positif 0 Négatif |
|('(x) | |
|Variation | |
|de ( | |
Fonction x3+x+1 sur [-1 ; 3 ] ('(x) = 3x²+1 Il faut étudier le signe du polynôme du second degré 3x² + 1. Son discriminant est ( = 0²-4(3(1= -12, il n'y a pas de racines donc le
polynôme est du signe de 3 donc positif ( voir le signe d'un polynôme du
second degré dans le cours correspondant ) On peut également raisonner de la manière suivante : x² est toujours
positif donc 3x² aussi alors 3x² + 1 est positif. Ainsi sur [ -1 ; 3 ] ( et pour n'importe quelles valeurs de x ) , 3x² +1 >
0 donc ('(x) > 0 La fonction x3 + x +1 est croissante sur [-1 ; 3] |Valeurs de|-1 3 |
|x | |
|Signe de |Positif |
|('(x) | |
|Variation | |
|de ( | |
Exercice n°4 1°) ('(x) = 4x-10
2°) il faut d'abord étudier le signe de ('(x) = 4x - 10. Résolvons
l'inéquation 4x - 10 > 0 ( par exemple ) Pour x > 2,5 on a ('(x) > 0 donc la fonction ( est croissante.
En conséquence pour x < 2,5 on a ('(x) < 0 donc la fonction ( est
décroissante.
Le tableau de variation est : |Valeurs de|0 2,5 4 |
|x | |
|Signe de |Négatif 0 Positif |
|('(x) | |
|Variation | |
|de ( | | 3°) D'après le tableau de variation, on constate que ( admet un minimum
pour x = 2,5 et que la valeur de ce minimum est -9,5. Exercice n°5 1°) (x+1)(2x-3) = x(2x + x((-3) + 1(2x + 1((-3) = 2x²-3x+2x-3 = 2x²-x-3 2°) Puisque (x+1)(2x-3) = 2x²-x-3 alors ((x) = 2x²-x-3 donc ('(x) = 4x-1 Exercice n°6 1°) a) D'après le graphique le tableau de variation de ( est : |Valeurs de|-2 -1 1 2,5 |
|x | |
|Variation | |
|de ( | |
b) L'équation ((x) = 0 se résout graphiquement en allant lire la valeurs
des abscisses des points de la courbe pour lesquels l'ordonnée vaut 0. Ces
points ont pour abscisses -1,5 ; -0,3 ; 1,9. 2°) a) ('(x) = 3x²-3. Pour vérifier que ('(x) = 3(x-1)(x+1) on va développer cette expression. ('(x) =3(x²+x-x-1) =3(x²-1) = 3x²-3 |x |-2 -1 1 2,5 |
|Signe de | Négatif 0 Positif |
|x-1 | |
|Signe de | Négatif 0 Positif |
|x+1 | |
|Signe de | Positif 0 Négatif 0 Positif |
|('(x) | |
b) c) D'après le tableau de signe la dérivée (' on en déduit que : Sur [-2 ; -1 ] ( est croissante Sur [-1 ; 1] ( est décroissante Sur
[1;2,5] ( est croissante
|Valeurs de|-2 -1 1 2,5 |
|x | |
|Variation | |
|de ( | | Exercice n°7 Partie A 1°) Il faut résoudre l'équation en x : b(x) = 0 0,35x - 45 = 0 d'où x =
45/0,35 ? 125,57 2°) Le bénéfice maximal est donc obtenu pour x = 300 il faut calculer
b(300) = 0,35 ( 300 -45 = 60
Le bénéfice maximal est de 60 E 3°) Cette fonction est une fonction affine, sa représentation graphique est
une droite. Pour la tracer il suffit d'avoir les coordonnées de deux de ses points pour
des valeurs de x comprises entre [150;300]. Exemple pour : x = 200 : ((200) = 0,35(200-45 = 25 pour x = 250 :
((250) = 0,35(250-45 = 42,5 4°) Il faut aller lire l'abscisse du point de la droite dont l'ordonnée est
20 Cette abscisse est donc x =185.
Partie B 1°) On veut que b(300) = 60 soit -0,005(300²+2,6(300+c = 60 330. + c = 60 alors c = -270 Si on veut que cette condition soit remplie il faut que b(x) = -0,005 x² +
2,6 x -270 2°) a)
|x |15|18|210|24|26|28|30|
| |0 |0 | |0 |0 |0 |0 |
|g(|7,|36|55,|66|68|66|60|
|x)|5 | |5 | | | | |
g(210) = -0,005 ( 210²+2,6(210 -270 = 55,5 g(280) = -0,005 (
280²+2,6(280 -270 = 66 b) g'(x) = -0,005(2x + 2,6 = -0,01 x +2,6 c) Il faut résoudre l'équation -0,01 x + 2,6 = 0 donc x = -2,6 / -0,01 =
260. on a alors x0 = 260
Cela signifie que g admet un maximum ou un minimum pour x0 = 260 puisque la
dérivée de g s'annule. d) il faut donc calculer b(x0 ) = b (260) = -0,005(260²+2,6(260 -270 = 68. Le bénéfice maximal est de 68 E
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[pic] [pic] ((-5)= 85 ((2)=-13 ((5)=5 [pic] Attention on divise par on nombre négatif, il faut changer le sens de
l'inégalité !!!!! ((2)=7 ((1,5)=7,25 ((-2)= -5 ((3)=351 [pic] ((-1)= -1 ((4)=-5 ((2,5) =-9,5 ((0)= 3 ((1)=-3 ((-1) =1 ((-2)= -3 ((2,5)=7,125 ((2,5)=7,125 ((1)=-3 ((-1) =1 ((-2)= -3 [pic]