Le Cx des fusées - Numericable

LE Cx DES FUSÉES


Estimation du Coefficient de Traînée des fusées en subsonique
incompressible.




Ceci est la version 1bis [1] de notre texte.
Aidez-nous à le faire évoluer en
nous faisant part de vos remarques.
Certaines parties en ont été dissociées pour constituer
des textes à part (tels que Nos mesures en Soufflerie de Cx de fusées
ou Existe-t-il un Cx moyen pour les fusées ?)






LE CX ET LES PERFORMANCES


Les qualités de pénétration dans l'air de nos fusées d'amateurs
ne comptent pas pour rien dans leurs performances en altitude. Si,
pendant leur courte phase propulsive, la Traînée atmosphérique ne
trouve guère le temps de les ralentir, ce n'est plus le cas lors de la
longue Phase Balistique qui les mène, sur leur lancée, à l'apogée.




Contrairement à ce que l'on pourrait penser, il est assez simple
d'évaluer la part du capital initial de vitesse dissipée par une fusée
dans le freinage atmosphérique.


Le capital initial de vitesse d'une fusée n'est autre que sa
Vitesse de Fin de Propulsion et ce capital est voué à se dissiper
totalement entre l'instant de Fin de Propulsion et l'instant de
culmination.


Or l'action inexorable de la pesanteur terrestre a ceci de
limpide que son résultat n'est fonction que de la durée pendant
laquelle cette pesanteur a agi. Dans notre cas, la pesanteur agit entre
la Fin de Propulsion et l'instant de culmination. Appelons TBalCulm
cette durée (pour Temps Balistique de Culmination).


À l'instant de la culmination, le bilan de la pesanteur sur le
capital initial de vitesse de la fusée se résume à : - g TBalCulm .


Il en résulte que la part de ce capital de vitesse qui n'a pas
été dissipée par la gravité, à savoir VFinProp - g TBalCulm , ne peut
l'avoir été que par la Traînée atmosphérique (il n'y a pas d'autres
forces entrant en jeu dans le mouvement balistique de la fusée).


C'est donc une chose qu'on ne dit pas assez :


La différence VFinProp - g TBalCulm représente le cumul des pertes
de vitesse par Traînée Atmosphérique pendant la phase balistique
ascendante d'une fusée.




Or, dans le cas d'une fusée à Cx constant et se déplaçant
verticalement, on peut intégrer analytiquement le mouvement de la fusée
d'après son équation différentielle. On connaît donc le temps qui lui
faut, depuis la fin de sa propulsion, pour atteindre son apogée.


Le Vol de la Fusée [2] donne ce Temps Balistique de
Culmination :


TBalCulm = ) Arctan[ ) VFinProp]


équation où :
VfinProp est la vitesse acquise en fin de propulsion
g l'accélération de la pesanteur
et b est le fameux Coefficient Balistique dont la valeur
est ½?SCx /M , quantité où l'on reconnaît :
? la masse volumique de l'air traversé,
S la section de référence de la fusée (la section
de l'ogive souvent) ayant présidé au calcul du
Cx,
Cx le coefficient de freinage atmosphérique,
considéré comme constant,
et M la masse de la fusée à sec de carburant,
encore nommée masse balistique.




On peut se reporter, au sujet de ce Coefficient Balistique b, à
notre texte La fusée en vol balistique qui en donne une traduction
beaucoup plus parlante.


Nous proposons également, à la fin de ce texte, une formulation
beaucoup plus intuitive du Temps Balistique de Culmination.






Résumons juste l'entrée en matière ci-dessus en disant qu'il est
aisé de connaître le Temps Balistique de Culmination. Et que, ce Temps
connu, la portion de Vitesse de Fin de Propulsion qui est consommée en
freinage atmosphérique peut en être facilement déduite.


Voici d'ailleurs, pour les non calculeux, un abaque donnant, en
pourcentage de la Vitesse de Fin de Propulsion, ces pertes de vitesses
occasionnées par la Traînée en fonction du Coefficient Balistique b et
de ladite Vitesse de Fin de Propulsion :
attention, verticales ajoutées dans Word !!
[pic]
[pic]


Sous le graphique des pourcentages de pertes , nous proposons un
autre graphique permettant de calculer le Coefficient Balistique b
selon la Masse à Sec de la fusée et le diamètre de son ogive, ceci pour
un Cx usuel de 0,35. [3]


En effet, la valeur dudit Coefficient Balistique b = ½?SCx /M ne
dépend, près du sol de notre planète, que de la section de référence
(section de l'ogive, le plus souvent) (donc de son diamètre), du Cx qui
y est attaché, et de la Masse à Sec (ou Masse Balistique) de l'engin.


Détaillons la façon de se servir de ces graphiques couplés, sur
l'exemple d'une fusée à eau dotée d'un Cx type de 0,35, d'un diamètre
80 mm et d'une Masse à Sec de 0,170 Kg :


( Choisir sur l'abaque du bas la courbe correspondant au
diamètre de l'ogive de la fusée (pour nous c'est la courbe bleu dense).


( Repérer sur cette courbe l'abscisse correspondant à la Masse à
Sec de notre fusée (0,17 Kg).


( Élever une verticale depuis cette abscisse jusqu'au graphe
supérieur (c'est la verticale bleu dense).


( En traversant les deux axes horizontaux, cette verticale nous
indique le coefficient balistique de notre fusée.


( Le point où la verticale bleue dense coupe la vitesse de Fin
de Propulsion espérée (50 m/s, ici) nous donne le pourcentage de
vitesse que la fusée perdra du fait de la Traînée durant sa phase
balistique ascendante : pour nous c'est 28 %...




La modicité de ce pourcentage est ici due au fait que les fusées
à eau de base n'atteignent pas de grandes vitesses. De plus, le modèle
choisi est d'une masse plutôt forte, ce qui produit les deux résultats
favorables de limiter fortement sa vitesse de fin de propulsion et
d'augmenter sa Masse Balistique.
Mais la lecture de ces familles de courbes nous convainc
également que si l'on propulsait la même fusée à eau à des vitesses
plus grandes (par augmentation de la Pression Initiale), les pertes
endurées par Traînée deviendraient beaucoup plus importantes...


Une même augmentation des pertes par Traînée serait obtenue si
l'on diminuait la Masse à Sec de la fusée (par exemple jusqu'à 0,1 Kg
) : Cela aurait pour double effet défavorable de diminuer sa Masse
Balistique (verticale bleue claire) et d'élever sa Vitesse de Fin de
Propulsion (qui passerait alors à 65 m/s). Le pourcentage des pertes
par Traînée dépasse alors les 45 %...


La fusée à eau bute donc vraiment sur le mur de l'atmosphère...




Les fusées à feu, en particulier les Minifusées et Fusée
Expérimentales, échapperaient à cette malédiction (du fait de leur plus
faible diamètre et de leur plus forte Masse Balistique) s'il ne leur
prenait pas de tutoyer les fortes vitesses !


La verticale rouge illustre l'exemple d'une telle fusée de
diamètre 40 mm et de Masse à Sec 0,50 Kg (toujours au même Cx de
0,35) : selon sa Vitesse de Fin de Propulsion, elle peut dissiper
jusqu'à 50 % de son capital de vitesse en freinage atmosphérique...
[4]


Recalons notre pensée sur un dernier exemple : Les fusées à feu
de la catégorie Minifusée Cariacou, ont fréquemment des temps de montée
à l'apogée de 10 s (à partir de l'instant de Fin de Propulsion). Il en
résulte que sur les 125 m/s de leur vitesse de Fin de Propulsion, 21 %
sont dissipés en freinage atmosphérique. Correction de ce %age le 29
05 07




Attention cependant à ne pas se fabriquer une vision trop simple
des choses : le fait d'améliorer la pénétration dans l'air de la fusée
(en la dotant d'un Coefficient Balistique plus favorable, c-à-d plus
faible) lui permettra de voler plus longtemps vers son apogée (en
montant donc plus haut), mais la gravité tirera alors parti de ce Temps
Balistique accru pour freiner la fusée selon son inexorable loi
g TBalCulm...






CONSIDÉRATIONS GÉNÉRALES SUR LE Cx


Avant d'entrer dans le vif de notre sujet, nous nous devons de
rappeler que c'est commettre une grave imprudence que de parler de Cx
d'un mobile sans préciser à quelle section ce Cx est attaché.


Rappelons que la Traînée d'un corps ne peut être déterminé que
par des mesures en soufflerie ou en vol.
Bien sûr, une fois que cette Traînée (qui est une force) a été
mesurée (en soufflerie, par exemple), il est tentant de la diviser par
la pression dynamique 1/2?V² de l'écoulement, pression qui caractérise
tout à fait sa vitesse... Cette pression dynamique 1/2?V² est également
la surpression causée par l'arrêt des particules d'air au point
d'arrêt :




La division d'une force par une pression ayant les dimensions
d'une surface, il est alors naturel de se demander à quoi correspond la
surface qui résulte de cette division. La réponse est qu'elle ne
correspond à aucune surface particulière (dans le cas de nos fusées,
elle est plus petite que la section frontale, par exemple).


On ne sait pas ce qu'est cette surface, mais on peut l'appeler
la Surface de Traînée, ou Surface Équivalente de Traînée. [5]


On pourrait en rester là et dire que le mobile testé possède
telle surface équivalente