Exercices faisant intervenir des polynômes

Leçon 334 : Exercices de géométrie plane faisant
intervenir des triangles isométriques ou semblables
|Exercice 1 : Le théorème de Ptolémée | |
|Soit ABCD un quadrilatère convexe inscrit dans un cercle|Cocyclicité pour |
|(. Soit K le point du segment [AC] tel que [pic] = |démontrer des égalités |
|[pic]. |angulaires. |
|Monter que les triangles ABD et BCK ainsi que ABK et DBC|Caractérisation de |
|sont semblables. |triangles semblables à |
|En déduire que AB x CD + AD x BC = BD x AC |l'aide d'égalité |
| |d'angles. Utilisation |
|Exercice 2 : Des démonstrations du théorème de Pythagore|de la proportionnalité |
| |des cotés opposés aux |
| |angles respectivement |
|ABC est un triangle rectangle en B et H est le pied de |égaux. |
|la hauteur issue de B. Exprimer les aires des triangles | |
|BHC et ABH en fonction de l'aire de ABC. En déduire le | |
|théorème de Pythagore. | |
| |3 triangles rectangles |
|b et c sont deux réels strictement positifs tel que b < |semblables. Rapport des|
|c. ABDE, EFGH, HIJK, et MDKL sont quatre carrés disposés|aires de deux triangles|
|comme ci dessous. ABDE et HIJK ont pour coté c. EFGH et |semblables. |
|MDKL ont pour coté b. | |
|On pose BC = a où C est le point de [AE] tel que AC = b | |
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| |Utilisation d'un des |
| |cas d'isométrie. |
| |Utilisation des |
| |triangles isométriques |
| |pour démontrer des |
| |égalités de longueur. |
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|Démontrer que BCGK est un carré et en exprimant son aire| |
|retrouver le théorème de Pythagore | |
|3) | |
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|Montrer que BAH et BCF sont isométriques | |
|Et déduisez en que l'aire de BAGF est | |
|égale à l'aire de BMNH. | |
|De même montrer que l'aire de ACED | |
|est égale à l'aire de MCKN. | |
|En déduire le théorème de Pythagore. | |
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| |Utilisation d'une |
| |isométrie |
| |( rotation). Egalité |
| |des aires de deux |
| |triangles isométriques.|
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|Exercice 3 : Le problème de Napoléon | |
|Soit C un cercle : le but est de retrouver le centre de | |
|ce cercle avec l'aide exclusive d'un compas. | |
|Soit A un point de C et C1 un cercle de centre A qui | |
|coupe C en M et N. | |
|C2 et C3 les cercles de centres M et N qui passent par A| |
|, ils se coupent aussi en un point B. P et Q sont les | |
|intersections du cercle C1 et du cercle C4 de centre B | |
|qui passe par A. | |
|Soit O le deuxième point d'intersection des deux cercles| |
|C5 et C6 de centre P et Q et qui passe par A. | |
|Démontrer que OA= OM= ON et donc que O est le centre de | |
|C. | |
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| |Utilisation de deux cas|
| |de similitudes. |
| |Utilisation de la |
| |proportionnalité des |
| |cotés opposés aux |
| |angles respectivement |
| |égaux. |
| |On obtient deux |
| |triangles semblables |
| |dont l'un est isocèle |
| |donc l'autre aussi est |
|Exercice 4 : Un sangaku |isocèle d'où les |
|Préliminaire :Démontrer que si deux triangles sont |égalités demandées.. |
|semblables les rayons des cercles inscrits sont dans le | |
|même rapport que le rapport de similitude. | |
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|Le triangle ABC est rectangle en C.Chacun des trois | |
|cercles est inscrit dans le triangle qui le contient. | |
|Les quadrilatères sont trois carrés. On note r1, r2 et | |
|r3 les rayons des cercles de la gauche vers la droite et| |
|de même c1, c2 et c3 les cotés des carrés dans le même | |
|ordre. On note ( la mesure de [pic]. Comparer r1r3 et | |
|(r2)² | |
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