Brevet des collèges 2006 - Maths à Cozes

Brevet des collèges 2006 Académies d'Aix-Marseille, Corse, Montpellier, Nice, Toulouse
Solution : Activités numériques 1 1) Ecrire le nombre A ci-dessous sous forme d'une fraction irréductible :
[pic]
2) Écrire le nombre B ci-dessous sous la forme [pic], où a et b sont des
nombres entiers, b étant le plus petit possible :
[pic]
[pic]
3) Donner l'écriture scientifique de C :
[pic] Solution : Activités numériques 2 1) Développer et réduire D.
[pic]
[pic]
2) Factoriser D.
[pic]
3) Résoudre l'équation : (2x - 3)(x + 2) = 0
Un produit est nul si et seulement si un des facteurs est nul,
2x - 3 = 0 si 2x = 3 soit x = 3/2 = 1,5 ; x + 2 = 0 si x = -2
L'équation a deux solutions : -2 et 1,5. Solution : Activités numériques 3 1) Résoudre le système
Multiplions les termes de la 2ème équation par deux puis remplaçons la 2ème
par la différence :
|[pic] |6x + 5y | Solution : Activités géométriques 2 |1) Construire un triangle ABC rectangle |[pic] |
|en C tel que AC = 5 cm et [pic]= 40° | |
|(voir ci-contre) | |
|2) Calculer la longueur BC. (On donnera | |
|une valeur arrondie au millimètre). | |
|[pic]est la tangent de l'angle [pic]et | |
|vaut environ 0,839, donc [pic] | |
|BC mesure 6 cm à un millimètre près | |
|3) a) Où se trouve le centre O du cercle| |
|circonscrit au triangle ABC ? Justifier.| |
| | |
|Le centre du cercle circonscrit à un | |
|triangle rectangle se trouve au milieu | |
|de l'hypothénuse, 0 est donc le milieu | |
|de [AB]. | |
|3) b) Tracer ce cercle (voir ci-contre) | |
|4) En déduire la mesure de l'angle | |
|[pic]. | |
|La somme des angles d'un triangle étant | |
|de 180°, l'angle [pic]mesure 180 - 90 - | |
|40 = 50°. | |
|L'angle [pic]est l'angle au centre | |
|interceptant le même arc que [pic], sa | |
|mesure est donc le double soit 100°. | |
| | |
Solution : Activités géométriques 3 1) Montrer que AD = 4 cm.
ABCD étant un rectangle, le triangle ABD est rectangle en A. D'après le
théorème de Pythagore, BD2 = AB2 + AD2.
[pic]
2) Calculer le volume de la pyramide SABCD en cm3.
[pic]
3) a) Quelle est la nature de la section A'B'C'D' obtenue ?
Une section d'une pyramide par un plan parallèle à la base est de même
nature que la base, A'B'C'D' est donc un rectangle.
b) La pyramide SA'B'C'D' est une réduction de la pyramide SABCD. Donner le
rapport de cette réduction.
Le rapport de réduction est [pic]qui vaut [pic]puisque O' est le milieu de
[SO].
c) Calculer le volume de la pyramide SA'B'C'D'.
Le rapport des volumes est le cube du rapport de réduction donc [pic]. Solution : Problème |1) Expliquez pourquoi Yann devra payer 14 |[pic] |
|euros par journée de ski. | |
|Yann bénéficie d'une réduction de 30% sur le| |
|prix normal d'une journée à 20 E, il paye | |
|donc 70% de cette somme pour chaque journée | |
|soit 20 x 70 / 100 = 14 E. | |
|2) Reproduire et compléter le tableau | |
|suivant : | |
|Nombre de jours de ski pour la saison | |
|2004-2005 | |
|5 | |
|8 | |
|11 | |
| | |
|Coût en euros avec le tarif A | |
|100 | |
|160 | |
|220 | |
| | |
|Coût en euros avec le tarif B | |
|130 | |
|172 | |
|214 | |
| | |
|3) a) Exprimer le coût annuel CA en euros | |
|pour un utilisateur ayant choisi le tarif A | |
|: | |
|Le coût est CA = 20x | |
|3) b) Exprimer le coût annuel CB en euros | |
|pour un utilisateur ayant choisi le tarif B | |
|: | |
|Le coût est CB = 14x + 60 | |
|4) Sachant que Yann adhérent au club a | |
|dépensé au total 242 E, combien de jours | |
|a-t-il skié? | |
|Le coût des journées se monte à 242 - 60 = | |
|182 E ce qui correspond à 182 / 14 = 13 | |
|journées. | |
|5) Tracer dans un repère les représentations| |
|graphiques des fonctions affines f et g | |
|définies par : f(x) = 20x ; g(x) = 14x + 60.| |
|(voir ci-contre) | |
|6) a) Léa doit venir skier douze journées | |
|pendant la saison 2004-2005. Quel est pour | |
|elle le tarif le plus intéressant ? Quel est| |
|le prix correspondant ? | |
|On constate sur le graphique que pour 12 | |
|jours (tracé brun), la représentation de | |
|f(x) est au dessus de celle de g(x), le coût| |
|CA est donc plus élevé que le coût CB, Léa a| |
|intérêt à choisir le tarif B, le prix | |
|correspondant est de 228 E.. | |
|b) En étudiant les tarifs de la saison, | |
|Chloé constate que, pour son séjour, les | |
|tarifs A et B sont égaux. Combien de | |
|journées de ski prévoit-elle de faire ? Quel| |
|est le prix correspondant ? | |
|Les deux tarifs sont équivalents lorsque les| |
|deux droites se croisent (tracé vert) soit | |
|lorsque x =10, y = 100. Chloé prévoit donc | |
|10 journées et paiera 200 E. | |