SOMMES ET PRODUITS

SOMMES ET PRODUITS
I ) LES SOMMES
A. La Notation [pic] ( sigma) Sigma c'est du grec c'est l'ancêtre de la lettre latine S. D'où son
utilisation pour désigner les Sommes.
Soient n et p deux entiers avec [pic]. Par définition, on a : [pic] ( la
notation avec les points de suspension s'appelle notation par énumération.)
k est l'indice de sommation. C'est un nombre entier qui prend toutes
les valeurs entières entre p et n. Rmq : (triviale mais pas inutile ) k est le nom de l'indice, qui n'a pas
d'importance. On peut l'appeler u, v, i, j, ce que l'on veut. On a bien sur
[pic]. B. Ce que l'on peut faire avec des sommes.
Toutes ces propriétés sont en fait triviales. Il suffit pour s'en
convaincre de revenir aux énumérations.
1. Multiplication par une constante. Soit a une constante (c'est à dire un nombre ne dépendant pas de l'indice
k. Quand k varie, a ne bouge pas. ). On a :
[pic]. On peut « sortir » une constante de la somme. 2. Sommes de deux termes. [pic] 3. Tronquer une somme. Il est parfois utile de « couper » une somme en deux parties. Soit q un
entier tel que [pic]. On peut écrire : [pic].
4. Sommes de produits. Ici, ATTENTION on n'a pas le droit de faire ce que vous avez envie de
faire. [pic].
Je suis un bon mathématicien, je vous donne un contre-exemple prouvant que
la proposition « [pic] » est fausse.
On prend p=1, n=2. On calcule chaque terme de la somme.
[pic] et [pic]= [pic] 5. Changements de variable
Parfois l'indice de sommation n'est pas le plus adapté pour calculer la
somme ; il est alors nécessaire de le modifier pour que le calcul soit plus
facile. Exemple : on cherche à calculer [pic]. Cela ressemble beaucoup a une somme
du type Binôme de Newton, mais à l'intérieur de la somme il y a [pic],
alors que dans la formule du Binôme de Newton on a [pic]. Qu'à cela ne
tienne on va s'y ramener. On aimerait avoir [pic] ? On pose j = k-1.
Quand k vaut 1, j vaut 0 ; quand k vaut n, j vaut n-1. On a donc trouvé les
bornes entre lesquelles j va varier.
On réécrit la somme : [pic]= [pic]. La marche à suivre pour faire un chgt de variable : On prend un nouveau nom
d'indice (dans l'exemple précédent j ), on pose la relation entre l'ancien
nom et le nouveau (j = k-1) on trouve les bornes du nouvel indice, et on
réécrit la somme. 6. Sommes doubles
On les rencontre parfois. Ce sont des sommes du type [pic]. Plus de détails
ultérieurement.
C. Quelques remarques.
Comment calculer le nombre de termes de la somme [pic] ? C'est [pic].
(dernier - premier +1)
Quelques formules avec des sommes à savoir : . Le binôme de Newton.
. Si [pic] [pic]
. [pic], [pic], [pic]. Tous les résultats précédents ne s'appliquent qu'avec des sommes dont le nb
de termes est FINI. ( Vous allez me dire : c'est quoi une somme dont le nb
de termes est infini ? Vous le saurez l'année prochaine.) Les sommes ne sont en fait que des intégrales bien particulières. ( d'où la
terminologie : chgt de variables, borne, etc...) II) PRODUITS
A. La Notation [pic] ( Pi) Pi c'est du grec c'est l'ancêtre de la lettre latine P. D'où son
utilisation pour désigner les Produits.
Soient n et p deux entiers avec [pic]. Par définition, on a : [pic] ( la
notation avec les points de suspension s'appelle notation par énumération.)
k est l'indice de sommation. C'est un nombre entier qui prend toutes
les valeurs entières entre p et n. Rmq : (triviale mais pas inutile ) k est le nom de l'indice, qui n'a pas
d'importance. On peut l'appeler u, v, i, j, ce que l'on veut. On a bien sur
[pic]. B. Ce que l'on peut faire avec des produits.
Toutes ces propriétés sont en fait triviales. Il suffit pour s'en
convaincre de revenir aux énumérations.
1. Multiplication par une constante. Soit a une constante (c'est à dire un nombre ne dépendant pas de l'indice
k. Quand k varie, a ne bouge pas. ). On a :
[pic]. On peut « sortir » une constante du produit, mais la constante
ressort élevée à la puissance [pic]
2. Produits de sommes. ATTENTION, ici on n'a pas le droit de faire ce que vous avez envie de
faire. [pic] ... a vous de voir pourquoi. 3. Tronquer un produit. Il est parfois utile de « couper » un produit en deux parties. Soit q un
entier tel que [pic]. On peut écrire :
[pic]
4. Produits de produits [pic]
5. Changements de variables. La marche à suivre est exactement la même que pour les sommes. C. Quelques remarques. De manière générale, on utilise moins les produits que les sommes.
Astuce : souvent on peut se ramener à des sommes en utilisant le
logarithme. Mais attention, celui ci n'est pas défini partout...
Quelques formules avec des produits à savoir :
. [pic]
. le produit des nombres impairs : [pic] (astuce : on multiplie en haut
et en bas par le produit des nombres pairs... qui lui est facile à
calculer : pourquoi ?)