Solution de l'exercice 1.

Exercices corrigés sur le chapitre 1. (Source : Enders)

Exercice 1. Soit l'équation aux différences stochastique suivante :
[pic]

1. Trouver la solution homogène et déterminez la condition de stabilité.
2. Trouver une solution particulière par la méthode des coefficients
indéterminés.

Solution de l'exercice 1.
1. La solution homogène est de la forme : [pic]. On forme l'équation
caractéristique en substituant la solution homogène dans l'équation
initiale : [pic], d'où [pic]. Les deux racines caractéristiques sont donc :
[pic] et [pic]. La condition de stabilité est que [pic] soit inférieur à 1
en valeur absolue.

2. On essaie la solution suivante : [pic]. Si cette solution est correcte
elle doit satisfaire la condition suivante : [pic]
Après regroupement des termes semblables et leur égalisation à 0 on
obtient :
[pic]

La solution particulière est donc de la forme : [pic]

Exercice 2. Cet exercice vous prépare au problème des racines unitaires
qu'on rencontre en économétrie des séries temporelles.
1. Trouvez les solutions homogènes de chacune des équations
suivantes (sachant qu'elles ont, chacune, au moins une racine
unitaire) :
[1] [pic]
[2] [pic]
[3] [pic]
[4] [pic]
2. Montrez que, pour chacune de ces équations, la solution « backward »
n'est pas convergente.
3. Montrez qu'on peut transformer l'équation [1] en une équation aux
seules différences premières de la forme : [pic] Trouvez une solution
particulière de [pic](Indication : définissez [pic] de telle sorte que
[pic]. Trouvez une solution particulière de [pic] exprimée en termes de
[pic]).
4. Procédez de même pour les trois autres équations et trouvez, si elle
existe, une solution particulière de ces équations ainsi transformées.
5. La condition initiale [pic]étant donnée, trouvez la solution de
l'équation : [pic]




Solution de l'exercice 2.
La partie homogène de l'équation [1] est : [pic] ou mieux encore : [pic].
La solution homogène est de la forme [pic] (voir exercice précédent,
solution de la question 1). On obtient donc : [pic]. On divise par [pic] et
on obtient : [pic]. Les deux racines caractéristiques sont : [pic] et
[pic]. La combinaison linéaire des deux est aussi une solution homogène.
Avec [pic] deux constantes arbitraires, on obtient la solution homogène
complète : [pic]

Par la même méthode on obtient les solutions suivantes pour les équations
[2] à [4] :

[2] : [pic]
[3] : [pic]
[4] : [pic]

On peut écrire l'équation sous la forme : [pic]
ou encore, à l'aide de l'opérateur de retard : [pic]. On peut factoriser
le polynôme comme suit : [pic]. Bien que [pic]converge, [pic]ne converge
pas.

Par la même méthode on obtient pour les équations suivantes :
[2] : [pic] qui ne converge pas
[3] : [pic] et [pic] qui ne convergent pas
[4] : la factorisation donne : [pic]. [pic] et [pic] sont convergentes,
mais [pic] ne l'est pas.

Soustrayons [pic] des deux côtés de l'équation [1] : [pic] ou encore [pic].
La solution particulière de cette équation est : [pic]ou [pic]

Pour les autres équations on obtient :
[2] : [pic]
[3] : [pic] (solution obtenue par la méthode des coefficients indéterminée
à partir de la solution exploratoire : [pic])
[4] : [pic]



Exercice 3. Soit l'équation de récurrence suivante : [pic]
1. Supposons [pic](condition initiale) et [pic]. Supposons également
[pic]Déterminez les valeurs de [pic]de [pic] par itérations
« forward ».
2. Trouvez la solution homogène et une solution particulière
3. Imposez la condition initiale de façon à obtenir la solution générale
4. Déterminez les effets dans le temps d'un choc [pic] sur la séquence
[pic].




Solution de l'exercice 3.

Si on fait l'hypothèse que toutes les valeurs futures de [pic] seront
nulles comme elles le sont pour les valeurs passées (NB : seul [pic]),
alors on peut en déduire : [pic] sachant [pic] (NOTA BENE : la solution
par itération « backward » donne évidemment les mêmes résultats).
La solution homogène est [pic] et la solution particulière est [pic] d'où :
[pic]
La solution générale est : [pic] . On sait que [pic] et [pic]. D'où : [pic]
et par conséquent : [pic] Si on fait l'hypothèse que le système est
initialement à son niveau d'équilibre à long terme, alors[pic] et par
substitution on obtient : [pic]
La réponse à la question précédente montre que [pic] est fonction des
[pic]. On peut mesurer alors l'effet dans le temps d'un choc [pic] sur
[pic] par les dérivées partielles : [pic]
Et en généralisant pour tout [pic]: [pic]