Agrégation Interne 2001

Agrégation Interne 2001


Exercices d'induction II Corrigé


[pic]
Exo n°1 :
1. Le câble coaxial présente la symétrie cylindrique forte, donc on calcule
le champ magnétique [pic]par le théorème de Gauss. On choisit des
coordonnées cylindriques [pic]. Il y a double invariance par translation le
long de Oz, & par rotation autour de Oz, d'où : [pic], donc r est seule
variable. Tout plan contenant Oz est plan de symétrie, donc on a : [pic].
Les lignes de champ sont donc des cercles d'axe Oz, & le théorème d'Ampère
donne :
[pic]. On calcule ensuite le flux propre de ce champ à travers le rectangle
C reliant les deux armatures du coaxial, de hauteur h (cf figure). [pic],
d'où on déduit l'inductance linéique du câble coaxial : [pic].
AN : valeurs raisonnables : a = 0,5 mm, b = 5 mm, & on rappelle que µo =
[pic]SI, d'où :
[pic], valeur extrêmement faible, car une seule spire.

[pic]
2. On appelle [pic] les champs magnétiques créés par les deux cylindres. La
règle du tire - bouchon montre (cf figure) que les deux champs sont dirigés
vers les x < 0. Le champ résultant vaut donc : [pic]. On en déduit le flux
propre à travers le rectangle C reliant les deux conducteurs, & de hauteur
h :
[pic], d'où l'inductance linéique : [pic], car en pratique on a b >> a.
AN : valeurs raisonnables : a = 0,5 mm, b = 1 cm, d'où : [pic], du même
ordre de grandeur. Le résultat précédent constitue l'inductance extérieure,
due au champ à l'extérieur des fils. La contribution intérieure ne peut se
calculer que par la méthode énergétique, puisque la notion de flux suppose
le circuit filiforme. A l'intérieur d'un fil infini, ou de hauteur h >> a,
le théorème d'Ampère donne, en supposant le courant uniformément réparti :
[pic], d'où on déduit la densité d'énergie : [pic]. On intègre dans le
volume du conducteur :
[pic], donc [pic], valeur indépendante du rayon du câble, & donc valable
pour un circuit filiforme.
Quand [pic], la contribution intérieure devient négligeable devant la
contribution extérieure (cas des circuits filiformes, & donc quand on
demande de calculer L, il s'agit en fait de la contribution extérieure).
[pic]

3. La première ligne bifilaire parcourue par le courant I1 crée un champ
magnétique [pic] somme des champs [pic] créés par les deux fils. On a, en
norme : [pic], d'où on déduit le flux à travers le circuit C2 :
[pic], soit :
[pic], ou enfin :
[pic], d'où l'inductance mutuelle linéique : [pic] car en pratique b >> a.
Il reste [pic], toujours du même ordre de grandeur.

4. A l'intérieur du tore, au point M situé à la distance r de l'axe Oz, le
fil parcouru par le courant I1 crée le champ [pic] donné par le théorème
d'Ampère : [pic], dont le flux à travers une spire du tore vaut : [pic]. On
en déduit le flux total à travers l'enroulement : [pic], puis l'inductance
mutuelle par : [pic], soit :
[pic]. AN : [pic], valeur extrêmement faible.

Exo n°2 :
1. Le cadre est en équilibre sous l'action de son poids & du couple
électromagnétique. Mouvement de rotation, donc on calcule les moments par
rapport à l'axe Ox : le poids [pic] a un moment [pic] si G est le centre
d'inertie du cadre. Ce moment est dirigé vers les x < 0 : [pic]. A courant
constant, l'énergie magnétique et donnée par [pic]. On en déduit le couple
électromagnétique [pic]. Autre calcul possible : le champ magnétique étant
uniforme, le circuit se comporte comme un dipôle magnétique, donc [pic]
vers les x < 0, donc [pic]. Equation d'équilibre : [pic], donc :
[pic].

2. Stabilité : par l'énergie pour changer. [pic] comprend l'énergie
électromagnétique & l'énergie potentielle de pesanteur, soit : [pic].
A l'équilibre, l'énergie est extrémale, donc Si l'équilibre est stable,
l'énergie est minimale, donc sa dérivée seconde positive & on retrouve
l'équation d'équilibre précédente.
Si l'équilibre est stable, l'énergie est minimale, donc sa dérivée seconde
positive. Si l'équilibre est instable, l'énergie est maximale, donc sa
dérivée seconde négative. On calcule :
[pic], normal pour une fonction sinusoïdale.
Pour [pic] donc équilibre stable ;
Pour [pic] donc équilibre instable ;

Exo n°3 :
[pic]
On considère le circuit élémentaire de dimensions [pic], de profondeur a
(cf figure). On l'assimile à un circuit filiforme C, orientée à partir de
la règle du tire - bouchon & du champ magnétique. On calcule le flux du
champ magnétique à travers la surface S (C) : [pic] car les vecteurs [pic]
sont colinéaires & de même sens, & le champ ne dépend que du temps, donc :
[pic], d'où la fem induite : [pic]. Conductance du circuit élémentaire (les
lignes de courant pouvant raisonnablement être considérées comme
parallèles) : [pic] car [pic] (tôle). Puissance Joule élémentaire perdue
dans ce circuit :
[pic] d'où :
[pic], d'où la puissance volumique : [pic].
Cette quantité dépend de grandeurs sur lesquelles on ne peut pas
intervenir : pulsation ( & amplitude Bm du champ magnétique, conductivité
( de l'acier, facteur [pic] lié à la géométrie. Pour réduire ces pertes, il
reste à réduire e, c'est-à-dire à feuilleter le circuit massif, ce qui est
réalisé dans les carcasses de transformateurs.

Exo n°4 :
1. Pour chacun des solénoïdes, le champ magnétique créé au point O est
dirigé suivant l'axe, & vaut :
[pic], où ( est une constante ne dépendant que des paramètres géométriques
du solénoïde. Le champ résultant vaut donc : [pic]. On associe alors à
chaque vecteur plan un nombre complexe, soit :
[pic], & on utilise les formules d'Euler pour représenter les sinus, ce qui
donne :
[pic]
On sépare les contributions en [pic] & en [pic], ce qui donne :
[pic]. Dans le premier crochet, on reconnaît la somme des racines cubiques
de l'unité, qui vaut zéro, d'où : [pic]. Il en résulte que le module du
champ est constant : [pic], & que l'argument du nombre complexe associé est
une fonction affine du temps : on a affaire à un champ tournant autour du
point O à la vitesse angulaire constante ( (qui est celle du système de
courants triphasés) dans le sens trigonométrique.

2. Comme le champ magnétique créé tourne, l'angle entre sa direction &
celle de la normale à la bobine dépend du temps, donc son cosinus & le flux
aussi, d'où production d'une fem induite & d'un courant induit, donc de
forces de Laplace qui auront un couple moteur entraînant la bobine dans un
mouvement de rotation.
[pic]

3. D'après la figure, on déduit l'angle [pic] à un instant t quelconque :
[pic], & donc le flux à travers la bobine vaut : [pic] car le champ
magnétique est supposé constant sur la bobine de faibles dimensions. On en
déduit la fem induite : [pic], où l'on a posé :
[pic]. On constate que la fem induite s'annule si [pic] (pas de mouvement
relatif, donc pas de phénomènes d'induction), d'où le nom de moteur
asynchrone. On a une fem alternative, donc on se trouve en régime
sinusoïdal forcé, & on utilise les notations complexes : [pic], & de même :
[pic]. La bobine étant un circuit R-L, on a :
[pic], car ici l'on a : [pic], d'où : [pic], d'où l'on déduit que :
[pic], & [pic] car la bobine est un circuit inductif. Il en résulte que :
[pic].

4. La bobine étant un petit circuit plongé dans un champ magnétique
uniforme peut être assimilée à un dipôle magnétique, donc soumise au
couple : [pic], où [pic]est le moment magnétique de la bobine. En module,
on a donc : [pic], soit en définitive :
[pic]. Par analogie avec la définition de la puissance active : [pic], on
en déduit la valeur moyenne du couple : [pic], avec [pic], d'où :
[pic].

5. On fait apparaître les grandeurs [pic] & [pic] : [pic], où l'on a posé :
[pic]. On calcule la dérivée : [pic]. Donc :

[pic]
Si [pic] (moteur à l'arrêt) :
[pic] avec [pic] comme il se doit pour un rotor bobiné inductif ;
Si [pic] (synchronisme, le moteur décroche) : [pic]. La dérivée vaut :
[pic] ;
Si [pic]alors [pic], le couple est maximal & vaut : [pic], valeur
indépendante de R. D'où la courbe. Si on diminue le facteur de qualité : la
tangente à l'origine s'abaisse, le maximum du couple se déplace vers la
droite, en conservant la même valeur.

La puissance est donnée par : [pic]. Pour un bon facteur de qualité, le
couple n'est important qu'autour de la valeur gm, alors [pic].

Calcul rigoureux : on considère la fonction [pic] qui s'annule en g = 0 & g
= 1, donc il existe un maximum entre les deux. On dérive :
[pic], soit :
[pic] si [pic] si l'on a la condition Q2 >> 1.

[pic]

6. En prenant g comme variable : [pic]. La quantité (f représente le
frottement statique (obtenu à l'arrêt, pour g = 1). La quantité [pic]
représente le frottement dynamique (attention ! tous les ( n'ont pas la
même dimension !). On discute sur la courbe suivante :
Le système démarre seul si, à l'arrêt, donc pour g = 1, on a : [pic], ce
qui est réalisé pour Q2, mais pas pour Q1.
Pour faciliter le démarrage : il faut augmenter le couple moteur à l'arrêt,
donc augmenter la quantité [pic], donc diminuer le facteur de qualité
[pic]. La façon la plus simple consiste à augmenter R par adjonction d'un
rhéostat de démarrage, ce qui déplace la courbe vers la droite sans
modifier les valeurs extrémales du couple moteur .
En régime permanent : le théorème du moment cinétique donne : [pic], & donc
en module :
[pic] & on a deux points de fonctionnement P1 & P2 correspondant à
l'intersection des courbes. Discussion de la stabilité :
Au point P1 : si le moteur accélère, donc si g diminue, le couple résistant
l'emporte & on retourne en P1 ; si le moteur ralentit, donc si g augmente,
le couple moteur l'emporte & on retourne en P1, qui est donc stable ;
Au point P2 : si le moteur accélère, donc si