Bac maths S 1999 - Amérique du Nord - Descartes et les ...

Bac S 1999 - AMÉRIQUE DU NORD Exercice commun : probabilités - enseignement obligatoire : complexes -
spécialité : arithmétique -
Problème : fonction exponentielle. Annales bac S non corrigées : http://debart.pagesperso-orange.fr/ts
Document Word :
http://www.debart.fr/doc/bac_1999s/bac_s_amerique_nord_1999.doc BACCALAURÉAT GÉNÉRAL Session 1999
Épreuve: MATHÉMATIQUES
Série : S Durée : 4 heures Coef. : 7 ou 9 OBLIGATOIRE et SPÉCIALITÉ L'utilisation d'une calculatrice est autorisée Le candidat doit traiter les DEUX exercices et le problème. La qualité de
la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour
une part importante dans l'appréciation des copies.
Le formulaire officiel de mathématiques, prévu par l'arrêté du 27 mars
1991, et deux feuilles de papier millimétré sont joints au sujet. Dès que le sujet vous est remis assurez-vous qu'il est complet.
Ce sujet comporte 3 pages numérotées de 1 à 3. EXERCICE 1 (4 points) commun à tous les candidats
Partie I Lors de la préparation d'un concours, un élève n'a étudié que 50 des 100
leçons. On a mis 100 papiers contenant chacun une question dans une urne,
ces questions portant sur des leçons différentes. Le candidat tire
simultanément au hasard 2 papiers.
On donnera les réponses sous forme de fractions irréductibles. 1. Quelle est la probabilité qu'il ne connaisse aucun de ces sujets ?
(0,5 point) 2. Quelle est la probabilité qu'il connaisse les deux sujets ? (0,5
point) 3. Quelle est la probabilité qu'il connaisse un et un seul de ces sujets ?
(0,5 point) 4. Quelle est la probabilité qu'il connaisse au moins un de ces sujets ?
(0,5 point)
Partie II
On considère maintenant que l'élève a étudié n des 100 leçons (n étant un
entier naturel inférieur ou égal à 100). 1. Quelle est la probabilité pn qu'il connaisse au moins un de ces sujets ?
(1 point) 2. Déterminer les entiers n tels que pn soit supérieur ou égal à 0,95.
(1 point)
EXERCICE 2 (5 points) Arithmétique pour l'enseignement de spécialité
Les trois parties I, II, III peuvent être traitées indépendamment les unes
des autres.
Partie I Soit E = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10}.
Déterminer les paires {a ; b} d'entiers distincts de E tels que le reste de
la division euclidienne de ab par 11 soit 1. (1 point) Partie II
1. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 3.
a) L'entier (n - 1)! + 1 est-il pair ? (0,5 point)
b) L'entier (n - 1)! + 1 est-il divisible par un entier naturel pair ?
(0,5 point)
2. Prouver que l'entier (15 - 1)! + 1 n'est pas divisible par 15.
(0,25 point)
3. L'entier (11 - 1)! + 1 est-il divisible par 11 ? (0,25 point)
Partie III Soit p un entier naturel non premier (p ( 2).
1. Prouver que p admet un diviseur q (1 < q < p) qui divise (p - 1)!
(1 point)
2. L'entier q divise-t-il l'entier (p - 1)! + 1 ? (1 point)
3. L'entier p divise-t-il l'entier (p - 1)! + 1 ? (0,5 point)
EXERCICE 2 (5 points) candidats n'ayant que l'enseignement obligatoire Le plan orienté est rapporté au repère orthonormal direct (O ; [pic],
[pic]), l'unité graphique étant 4 cm. On considère les points A0, A1,
d'affixes respectives : a0 = l ; a1 = [pic].
Le point A2 est l'image du point A1 par la rotation r de centre O et
d'angle [pic].
1. a) Calculer l'affixe a2 du point A2 sous forme exponentielle puis sous
forme algébrique.
b) Soit I le milieu du segment [A0 A2]. Calculer l'affixe du point I.
c) Faire une figure.
2. a) Prouver que les droites (OI) et (OA1) sont confondues.
b) Écrire sous forme trigonométrique l'affixe de I.
c) Déterminer cos[pic] et sin[pic] (les valeurs exactes sont exigées),
sachant que :
[pic]
PROBLÈME (11 points) commun à tous les candidats
On considère la fonction numérique f définie sur ] -?; 1[ par :
[pic].
On désigne par (() la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un
repère orthonormal (O ; [pic] ,[pic]) l'unité graphique étant 2 cm.
Partie I 1. a) Soit X = [pic]. Prouver l'égalité : [pic]. (0,5 point)
En déduire la limite de f quand x tend vers 1.
b) Déterminer la limite de f en -?. (0,5 point)
c) En déduire une asymptote à la courbe ((). (0,5 point)
2. a) Soit v la fonction numérique définie sur ] -? ; 1[ par : [pic].
Calculer v ´(x). (0,5 point)
b) Démontrer que [pic] (0,5 point)
3. Étudier les variations de f. (0,5 point)
4. Tracer la courbe ((). (1 point)
Partie II 1. Déterminer une primitive de f sur ] -? ; 1[. (0,5 point)
2. Soit ? réel tel que 0 < ? < 1, déterminer : [pic] (0,5 point)
3. Quelle est la limite de g(?) quand ? tend vers 1 ? (0,5 point)
4. Quelle est l'aire en cm2 du domaine limité par la courbe de f, l'axe des
abscisses, les droites d'équations respectives x = - ? et x = ? ? (1
point)
Partie III 1. a) Démontrer que l'équation [pic] a deux solutions dont l'une est - 1.
On notera ? l'autre solution. (1 point)
b) Donner un encadrement de largeur 10-2 de ?. (0,5 point)
2. Soit a un élément de ]-?; 1[.
Déterminer graphiquement, en fonction de a, le nombre de solutions de
l'équation :
f (x) = f (a). (1 point)