polycopie_Gueraoui_smp3_fluide.doc

FILIERE : S.M.P.
[pic]
KAMAL GUERAOUI
Professeur de l'Enseignement Supérieur et Responsable de l'Equipe de
Modélisation Théorique et Numérique en Mécanique des Fluides et en
Environnement
ANNÉE UNIVERSITAIRE : 2009 - 2010 [pic] [pic] 6
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I- Pression et Force 10
II- Unités de pression 10
III- Notions de pressions absolue et relative 11
IV- L'équation de l'hydrostatique 11
IV-1. Formulation mathématique 11 IV-2. Exemple . 12 IV-3. Remarque : cas des gaz 13 IV-4. Interface entre deux fluides 13 V- Corps immergés : Principe d'Archimède 14
VI- Action d'un fluide sur une paroi 15
VI-1. Force exercée sur un élément de surface 15 VI-2. Cas d'une paroi plane 16 VI-3. Cas d'une paroi Cylindrique 17 [pic] 19
I- Description d'un fluide en mouvement 20
I-1. Représentation eulérienne et représentation lagrangienne 20
I-1.1 Représentation lagrangienne 20
I-1.2 Représentation eulérienne 20 II- Définitions 21
II-1. Ecoulement permanent 21
II-2. Ecoulement uniforme 21
II-3. Ecoulement plan 21
II-4. Ecoulement irrotationnel 21
II-5. Ligne de courant à un instant [pic] fixe 21
II-6. Tube de courant 21
II-7. Ligne d'émission 22
II-8. Trajectoires 22 III- Equation de continuité 22
III-1. Dérivation suivant la méthode d'Euler 22 III-2. Théorème de la divergence 23 III-3. Théorème de l'intégrale nulle 23 III-4. Equation de continuité 23 III-5. Vitesse et accélération 25
III-5.2 Accélération 25 III-6. Conservation du débit 25
III-6.1 Définitions 25
III-6.2 Conservation du débit 26
III-6.3 Expression du débit en fonction de la vitesse v 26
III-6.4 Vitesse moyenne 27 III-7. Théorème de BERNOULLI 27
III-7.1 Le phénomène 27
III-7.2 Théorème de Bernoulli pour un écoulement permanent d'un fluide
parfait incompressible 28
III-7.3 Démonstration : 28
III-7.4 Equation transversale 31 III-8. Applications 32
III-8.1 Phénomène de Venturi 32
III.8.2 Écoulement d'un liquide contenu dans un réservoir - Théorème de
Torricelli 32
III-8.3 Vidange d'un réservoir 33 III-9. Théorème global d'Euler 34 [pic] 36
I- Introduction 37
II- Coordonnées généralisées 37
III- Contraintes géométriques 38
III-1. Définition 38 III-2. Liaison holonome 39 III-3. Contrainte non holonome 39 IV- Centre de gravité 39
IV-1. Cas d'un ensemble discret 39 IV-2. Cas d'un ensemble continu 39 V- Le paramétrage 40
V-1. Paramètres de rotation 40
V-1.1 Rotation propre (?) 40
V-1.2 La nutation (?) 40
V-1.3 la Précession (?) 41 V-2. Paramètres de la translation 41 V-3. Schéma du paramétrage 41 V- Référentiel principal d'inertie 42
V-1. Constatation 42 V-2. Conséquences 42 VI- Energie cinétique 43
VII- Energie potentielle 43
VII-1. Energie de la pesanteur : 43 VII-2. Energie élastique : (énergie potentielle du ressort) 44 VIII- Equations de Lagrange 44
VIII-1. Système conservatif 44 VIII-2. Champ des déplacements virtuels 44 VIII-3. Equations de Lagrange 45 VIII-4. Intégrale première de l'énergie 47 VIII-5. Le Lagrangien du système 47 VIII-6. Intégrale première du mouvement 47 IX- Positions d'équilibre 47
X- Etudes de la stabilité d'une position d'équilibre 47
[pic] [pic] L'étude de la mécanique des fluides remonte au moins à l'époque de la
Grèce antique avec Archimède qui a découvert la notion de la poussée
d'Archimède pour un fluide au repos.
Aujourd'hui, la mécanique des fluides est l'un des domaines de la recherche
les plus actifs avec de nombreux problèmes non résolus ou partiellement
résolus, comme les problèmes de la pollution atmosphérique. La résolution
des équations régissant ces problèmes complexes fait appel aux méthodes de
résolution numériques. Comme tout problème de mécanique, la résolution d'un problème de mécanique
des fluides passe par la définition du système matériel S, particules de
fluide à l'intérieur d'une surface fermée limitant S. À ce système, on
applique les principes et théorèmes généraux de mécanique et de
thermodynamique à savoir :
- principe de la conservation de la masse,
- principe fondamental de la dynamique,
- principe de la conservation de l'énergie.
La mécanique des fluides concerne l'étude du comportement des fluides et
des forces internes associées.
Elle se divise en statique des fluides et dynamique des fluides :
Statique des fluides : C'est l'étude des fluides au repos
Dynamique des fluides : C'est l'étude des fluides en mouvement
Un fluide peut être considéré comme étant formé d'un grand nombre de
particules matérielles, très petites et libres de se déplacer les unes par
rapport aux autres. Un fluide est donc un milieu matériel continu,
déformable, sans rigidité et qui peut s'écouler. Parmi les fluides, on fait
souvent la distinction entre liquides et gaz.
Les liquides et gaz habituellement étudiés sont isotropes, mobiles et
visqueux. La propriété physique qui permet de faire la différence entre les
deux est la compressibilité.
- l'isotropie assure que les propriétés sont identiques dans toutes les
directions de l'espace.
- la mobilité fait qu'ils n'ont pas de forme propre et qu'ils prennent la
forme du récipient qui les contient.
- la viscosité caractérise le fait que tout changement de forme d'un fluide
réel s'accompagne d'une résistance (frottements).
[pic] I- Pression et Force Les particules qui forment un fluide ne sont pas immobiles les unes
par rapport aux autres. Elles sont agitées de façon désordonnée ce qui
provoque de nombreux chocs entre elles et avec les parois. Par ces chocs,
le fluide applique une force sur les parois. Ces forces sont appelées
forces de pression.
[pic]
Considérons la figure ci-dessus représentant une enceinte contenant un
fluide. Ce fluide exerce donc des forces sur chacune des parois. Ces forces
sont dirigées vers l'extérieur de l'enceinte et sont perpendiculaires aux
parois. Si on considère la face hachurée de surface S, le fluide lui
applique une force F. On peut ainsi définir la pression P du fluide comme
le rapport de cette force F et de la surface S :
[pic]
La pression représente donc la force qui s'exerce sur chaque unité de
surface.
II- Unités de pression Dans le système international, l'unité pour la force est le Newton,
noté N, et l'unité de la surface est le mètre carré (m2). Par conséquent,
l'unité dans le système international pour la pression sera le N/m2.
Une unité a été inventée pour la pression : C'est le Pascal, noté Pa. On a
par conséquent l'équivalence suivante : 1 Pa = 1 N/m2
Il existe de nombreuses autres unités de pression couramment employées dans
l'industrie.
bar : 1bar = 105
Pa
Atmosphère (atm) : 1 atm=101325 Pa Millimètre de mercure (mmHg) ou torr : 1 mmHg=133,32 Pa III- Notions de pressions absolue et relative Nous vivons dans un monde qui est baigné au sein d'un fluide : l'air.
On désigne par pression atmosphérique la valeur de la pression de l'air
ambiant.
Cette valeur (que l'on mesure à l'aide d'un baromètre) fluctue en fonction
des conditions météorologiques et de la zone géographique. Toutefois, la
valeur de la pression atmosphérique oscille autour d'une valeur moyenne
qu'on appelle pression atmosphérique normale qui vaut 101325 Pa.
Lorsque la pression d'un fluide est supérieure à la pression atmosphérique
on dit que ce fluide est sous pression.
Lorsque la pression du fluide est inférieure à la pression atmosphérique,
on dit que le fluide est sous vide.
Une pression nulle (P=0 Pa) correspond à un vide parfait qui correspond en
fait à une absence totale de particules (atomes ou molécules).
On définit la pression relative, que l'on note P', par : [pic]
P est la pression absolue. P et P' sont toutes deux des pressions et ont
par conséquent la même unité. IV- L'équation de l'hydrostatique
IV-1. Formulation mathématique La pression varie avec la hauteur dans le liquide. Un point du fluide
sera donc représenté par son altitude notée z. L'altitude est la coordonnée
du point sur un axe vertical et dirigé vers le haut. On fixera de manière
arbitraire l'altitude 0 (l'origine) sur cet axe. On veillera tout de même à
choisir une origine pratique comme par exemple le fond d'un réservoir, le
centre d'une pompe, etc.
Pour exprimer à l'aide d'une relation mathématique l'évolution de la
pression au sein d'un fluide au repos, il convient de respecter
scrupuleusement les hypothèses suivantes :
. Le fluide doit être au repos.
. Le fluide doit être homogène. On ne peut écrire de relation qu'au sein
d'un seul et même liquide.
On considère au sein de ce fluide homogène et au repos, deux points
distincts 1 et 2, d'altitudes respectives z1 et z2, alors on peut écrire la
relation suivante entre les pressions P1 et P2 :