Calculs magiques

Exposé des tours de magie mathématique
présentés lors de la conférence de Dominique SOUDER
« CALCULS MAGIQUES pour jeunes MATHEUX en puissance... »
Vous pouvez entrer en contact avec l'auteur :
dominique.souder@gmail.com Les tours sont tirés des ouvrages suivants : - « Magie et maths » par Dominique Souder, ACL éditions du
Kangourou ;
64 pages ; 9,60 euros (paru en 2001)
- « 32 tours mathématiques pour 32 cartes », par Dominique Souder,
ACL éditions du Kangourou ; 64 pages ; 8,50 euros (paru en avril
2008) - « 80 petites expériences de maths magiques » par D. Souder, éd.
Dunod,
232 pages, 16 euros, (paru en mai 2008)
- « Magic Matthieu compte en moins de 2 »,
par Dominique et Pascalyves SOUDER,
éd. Belin,
à paraître en février 2010. ****************************************************************
Le sesquimètre de la couturière. De nos jours, dans les foyers, on trouve encore des rubans de
couturière, même si les mamans ou les papas ont plus rarement que dans le
passé le temps de confectionner des robes ou des pantalons après avoir
réalisé un patron. Ce ruban souple qu'on appelle un « mètre » ou un
« centimètre » de couturière, gradué de 1 à 150 sur les deux faces, et qui
en fait mesure 1,50 mètre, il faudrait l'appeler « sesquimètre » car
« sesqui » veut dire « un et demi ».
Le tour suivant nécessite deux spectateurs pourvus chacun d'un petit
papier blanc, d'un crayon et d'un trombone, et bien sûr un « sesquimètre ».
Vous êtes le magicien, et vous proposez de faire un tour à deux de
vos amis.
Vous inscrivez sur une feuille de papier le nombre 302 ; pliez la
feuille, et placez-la en évidence sur la table en disant que vous faites
une prédiction.
Demandez à votre premier ami de placer sur le « sesquimètre » son
trombone à cheval, à l'endroit qu'il veut, et de noter sur son papier le
nombre du ruban apparaissant sous la partie la plus longue du trombone.
Demandez à votre deuxième ami de faire de même avec son trombone et son
papier. Repassez le sesquimètre au premier ami et demandez-lui de noter le
nombre qui apparaît de l'autre côté du trombone du deuxième ami (la partie
la plus courte du trombone), sur l'envers du ruban. Repassez le sesquimètre
au deuxième ami et demandez-lui de noter le nombre qui apparaît sur
l'envers du trombone du premier ami. Demandez à vos deux amis de faire
maintenant l'addition des deux nombres qu'ils ont chacun sur leur papier.
Prenez une feuille de papier, demandez à vos amis de dévoiler les deux
résultats, d'écrire ces deux nombres et de les additionner (faire le
total des deux totaux !).
Déployez votre prédiction : c'est le même total : 302 !
Comment avez-vous fait ?
- Observez sous un trombone les deux nombres écrits sur le ruban l'un
sur l'extérieur, l'autre sur l'intérieur : la numérotation de 1 à 150
est inversée sur les faces intérieure et extérieure du ruban. Vérifiez
que le total de deux nombres sur les faces opposées du ruban est
toujours 151 (en cm) : 150+1 = 149+2 = 148+3 =...= 60+91, etc.
Deux trombones conduisent à additionner deux fois 151, donc à obtenir 302.
Le croisement des nombres à ajouter (l'endroit de l'un des trombones,
l'envers de l'autre) permet que tout le monde ne trouve pas 151, et que le
« truc » du tour ne soit pas évident trop vite... Ajouter des nombres consécutifs... Voici un premier tour très facile à réaliser même pour les plus jeunes :
« 20 à la file »
Déroulement :
- Je tends une feuille de papier et un crayon à mon copain. Je lui
demande d'écrire verticalement une grande addition de 20 nombres
entiers consécutifs (c'est-à-dire qui se suivent de 1 en 1 comme les
nombres 3 , 4, 5), ceci à l'écart de mes yeux...
- Je lui demande s'il a fini, s'il y a bien vingt nombres....
- Je viens vérifier.
- J'écris alors tout de suite en dessous des vingt nombres le total de
leur addition !
Voici trois exemples :
|7 | |11 | |23 |
|8 | |12 | |24 |
|9 | |13 | |25 |
|10 | |14 | |26 |
|11 | |15 | |27 |
|12 | |16 | |28 |
|13 | |17 | |29 |
|14 | |18 | |30 |
|15 | |19 | |31 |
|16 | |20 | |32 |
|17 | |21 | |33 |
|18 | |22 | |34 |
|19 | |23 | |35 |
|20 | |24 | |36 |
|21 | |25 | |37 |
|22 | |26 | |38 |
|23 | |27 | |39 |
|24 | |28 | |40 |
|25 | |29 | |41 |
|26 | |30 | |42 |
|= 330| |= ?| |= ?|
Comment réussir ce tour ?
Prenons l'exemple ci-dessus à gauche. Imaginez que j'écrive l'addition en
ligne, et non en colonne, des vingt nombres de deux façons : la première en
présentant les nombres augmentant de 7 à 26, et la deuxième en les
présentant diminuant de 26 à 7.
7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20+21+22+23+24+25+26 = mon total
26+25+24+23+22+21+20+19+18+17+16+15+14+13+12+11+10+9+8+7 = mon
total
Maintenant si j'additionne les deux membres de gauche des deux égalités ci-
dessus je trouve un nombre qui vaut deux fois mon total. Mais je m'aperçois
que je peux additionner les quarante nombres de gauche en les regroupant
verticalement deux par deux : 7+26, 8+25, 9+24, ... jusqu'à 24+9, 25+8,
26+7. Chaque addition de deux nombres donne 33, et il y a vingt additions
de la sorte ; leur total donne donc 33 x 20. Cependant ceci représente deux
fois mon total donc celui-ci est seulement égal à 33 x 10 soit 330.
Conclusion : pour réussir le tour il me suffit d'additionner de tête le
premier et le dernier des vingt nombres puis de placer un zéro à droite du
résultat. Ainsi : 7+26 = 33, on place un zéro à droite, le total est 330.
Pour le deuxième exemple ci-dessus : 11+30 = 41, on place un zéro à droite,
le total est 410.
A vous de trouver seul(e) le total des vingt nombres de l'exemple ci-
dessus à droite. Deuxième tour (du même genre mais plus personnalisé avec l'âge de votre
ami).
Déroulement :
- Je tends une feuille de papier et un crayon à la personne qui veut
bien jouer avec moi.
- Je lui demande son âge
- 13 ans
- Bon alors, tu vas écrire pendant que je me retourne 13 nombres entiers
qui se suivent (le même nombre d'entiers que son âge). Tu commences à
partir de n'importe quel entier que tu choisis comme tu veux... C'est
fait ?
- Je reviens voir et j'écris le total des 13 nombres...
|6 | |9 | |5 | |14 |
|7 | |10 | |6 | |15 |
|8 | |11 | |7 | |16 |
|9 | |12 | |8 | |17 |
|10 | |13 | |9 | |18 |
|11 | |14 | |10 | |19 |
|12 | |15 | |11 | |20 |
|13 | |16 | |12 | |21 |
|14 | |17 | |13 | |22 |
|15 | |18 | |14 | |23 |
|16 | |19 | |15 | |24 |
|17 | |20 | |16 | |25 |
|18 | |21 | |17 | |= |
|= 156| |22 | |18 | | |
| | |23 | |= 161| | |
| | |= | | | | |
Comment réussir le tour ?
En imaginant les additions « en ligne » des nombres deux fois comme
précédemment (une fois en augmentant, une fois en diminuant, l'une en
dessous de l'autre), on a encore des additions verticales de deux nombres
qui donnent le même résultat.
Comme pour le tour précédent il faut ajouter le premier nombre et le
dernier nombre, mais ce résultat sera multiplié par l'âge (et non
forcément par 20) pour donner deux fois le total cherché. Le travail sera
plus difficile que de mettre un zéro à droite !
Il faudra donc multiplier par l'âge et diviser par 2 le total des nombres
extrêmes. Ce qui revient à faire la moyenne des nombres extrêmes et la
multiplier par l'âge. Selon les cas on fera cette division par 2 à la fin
ou plus tôt pour faciliter les calculs.
Dans l'exemple ci-dessus à gauche :
6+18 = 24, ce total est pair donc facile à diviser par 2 ; moyenne = 24 :
2 = 12 ; de 6 à 18 il y a treize nombres (attention 18 - 6 = 12 mais il y a
un nombre de plus que d'intervalles entre les extrémités, 12+1 = 13). Total
final : 12 x 13 = 156.
Pour cette dernière opération de tête, vous pouvez songer que 13 = 10+3,
donc 10 fois 12 donne 120 de plus 3 fois 12 donne 36, d'où 120+36 = 156.
Etudions maintenant le troisième exemple ci-dessus à partir de la gauche :
- de 5 à 18 il y a combien de nombres ? 18 - 5 = 13 ; 13+1 = 14
- combien vaut le total des extrêmes 5 et 18 ? 23
- le total étant impair, il vaut mieux diviser par 2 le nombre de
nombres : 14 : 2 = 7
- le total final est 23 x 7 = 161.
Essayez seul (e) pour l'exemple ci-dessus à droite... Dans le cas où l'âge est un nombre impair, il y a une astuce
supplémentaire !
En effet il y a alors un nombre qui est au milieu de tous les autres. Dans
l'exemple de gauche avec 13 nombres de 6 à 18, le nombre 12 est au milieu,
il y a six nombres plus petits (6, 7, 8, 9, 10, 11) et six nombres plus
grands (13, 14, 15, 16, 17, 18). De plus ce nombre situé au milieu est la
moyenne des nombres extrêmes (12 est la moyenne de 6 et 18). Vous pouvez
donc repérer le nombre écrit au milieu et vous dispenser de calculer la
moyenne des nombres extrêmes. Comment savoir vite s'il y a un nombre au
milieu ? Cela arrive à chaque fois que l'âge de la personne qui joue avec
vous est impair, vous le savez donc avant que les nombres soient écrits !
Ainsi pour 13 ans vous savez de suite qu'il suffira de repérer le nombre
écrit au milieu des treize nombres et de le multiplier par 13.
Essayez seul (e) pour le deuxième exemple ci-dessus à gauche (où votre ami
a 15 ans)... Troisième tour : les cases en V. Déroulement du tour :
- je demande à mon ami de me dire un nombre impair (donc finissant par 1
ou 3, 5, 7, 9)
- je dessine sur une feuille de papier autant de cases que le nombre
indiqué, présentées sous forme de V. Par exemple pour 11 cases, celle
située en bas du V sera la sixième, ce sera la seule sur sa ligne
(pour trouver son numéro, ajouter 1 au nombre impair et diviser par
2 ; ainsi 11+1 = 12 et 12 : 2 = 6).