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LES FONCTIONS DE REFERENCE







Fonctions affines et fonctions linéaires



1 Définitions


Une fonction affine f est définie sur ? par[pic], où a et b sont deux
nombres réels.
Lorsque [pic] = 0, la fonction f définie par [pic] est une fonction
linéaire.

Exemples :
La fonction f définie sur ? par [pic] est une fonction affine.
La fonction g définie sur ? par [pic] est une fonction linéaire.

Exercices conseillés Exercices
conseillés En devoir
|Ex 1 à 4 | | |p104 n°9 à 12 |p106 n°30 |
|(page 8) | | |p105 n°13, 14 | |
|p92 n°12 | | |p106 n°28, 29 | |


ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2014





2 Variations



Propriété :
Soit [pic] une fonction affine définie sur ? par [pic].
Si [pic], alors f est croissante sur ?.
Si [pic], alors f est décroissante sur ?.
Si [pic], alors f est constante sur ?.

Démonstration :

Soient m et p deux nombres réels tels que m < p.
[pic]
On sait que m < p donc p - m > 0.
Le signe de [pic] est le même que celui de a.
- Si [pic], alors [pic]> 0 soit [pic].
Donc f est croissante sur ?.
- Si [pic], alors [pic]= 0 soit [pic].
Donc f est constante sur ?.
- Si [pic], alors [pic]< 0 soit [pic].
Donc f est décroissante sur ?.

3 Représentation graphique


[pic] Vidéo https://youtu.be/fq2sXpbdJQg
[pic] Vidéo https://youtu.be/q68CLk2CNik
[pic] Vidéo https://youtu.be/OnnrfqztpTY


La représentation graphique d'une fonction affine est une droite qui
n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées.
Dans le cas d'une fonction linéaire, il s'agit d'une droite passant par
l'origine du repère.
Dans le cas d'une fonction constante, il s'agit d'une droite parallèle à
l'axe des abscisses.


Exemple














-2 est l'ordonnée à l'origine
(il se lit sur l'axe des ordonnées)

Pour (d) : Le coefficient directeur est 2
L'ordonnée à l'origine est -2
La fonction f représentée par la droite (d) est définie par f(x) = 2x - 2

Pour (d') : Le coefficient directeur est -0,5
L'ordonnée à l'origine est -1
La fonction g représentée par la droite (d') est définie par g(x) = -0,5x -
1

Pour la fonction f définie sur ? par [pic] :
a est coefficient directeur et b est l'ordonnée à l'origine de la droite
représentative.

Exercices conseillés Exercices
conseillés En devoir
|Ex 5 à 6 | | |-p90 n°1 |-p105 n°16, 21|
|(page 8) | | |p104 n°12 | |
|p91 n°1, 2, | | |p105 n°15, 17,| |
|4, 7 | | |18, 19, 20, | |
|p92 n°16, 15 | | |22* | |
|Ex 9 à 12 | | |p116 n°132* | |
|(page 9) | | |-p106 n°36 à | |
| | | |39 | |
| | | |-p106 n°41 |-p106 n°40 |
| | | |p107 n°42 | |
| | | |p113 n°108* | |


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2014

Propriété :
Si A(xA ; yA) et B(xB ; yB) sont deux points distincts de la droite (d)
représentant la fonction f définie sur ? par [pic] alors :
[pic].

Démonstration :

yB - yA = f(xB) - f(xA) = (axB + b) - (axA + b) = a(xB - xA)
Comme la droite (d) n'est pas verticale, xA ? xB, et on a : [pic].


Méthode : Déterminer l'expression d'une fonction affine


[pic] Vidéo https://youtu.be/0jX7iPWCWI4

Déterminer par calcul une expression de la fonction f telle que f (-2) = 4
et f (3) = 1.


La représentation graphique correspondant à la fonction affine f passe donc
par les points A(-2 ; 4) et B(3 ; 1).
[pic]
[pic]
Comme A est un point de la droite, on a : f (-2) = 4
De plus : [pic], donc on a :
[pic] donc [pic].
D'où : [pic]

Remarque :
Le graphique permet de
lire des valeurs approchées
de a et b.
Cette méthode graphique
n'est pas précise mais
permet d'avoir un ordre de
grandeur des valeurs
cherchées.



Exercices conseillés En devoir
Exercices conseillés En devoir
|p91 n°3, 5 |Ex 7 (page 9) | |p105 n°23 à 27|p106 n°28 |
|Ex 8 (page 9)| | | | |
| | | |p112 n°100*, | |
| | | |101* | |


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Edition 2014


Méthode : Appliquer un pourcentage

[pic] Vidéo https://youtu.be/c2s_Fta0jCo

Le litre d'essence coûte 1,40 E. En janvier, il augmente de 8%. En février,
il diminue de 8%.
1) Calculer les prix successifs du litre d'essence.
2) En mars, le prix du litre d'essence est égal à 1,37E. Calculer la
variation entre février et mars en pourcentage.


1) Janvier : [pic]
Février : [pic]
2) [pic]
[pic]
Le prix du litre d'essence a diminué d'environ 1,5%.

Exercices conseillés En devoir Exercices
conseillés En devoir
|Ex 13 à 17 |p93 n°23 | |p104 n°1 à 8 |p113 n°112 |
|(page 10) | | |p113 n°111* | |
|p93 n°21, 26*| | | | |
| | | | | |
|p94 n°27* | | | | |


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Fonction carré


[pic] Vidéo https://youtu.be/B3mM6LYdsF8


Définition


La fonction carré f est définie sur ? par[pic].





Variations


Propriété :
La fonction carré f est décroissante sur l'intervalle [pic] et
croissante sur l'intervalle [pic].

Démonstration :


- Soient [pic]et [pic]deux nombres réels quelconques positifs tels
que [pic].
[pic]
Or [pic], [pic]et [pic] donc [pic] ce qui prouve que [pic] est
croissante sur l'intervalle [pic].


- La décroissance sur l'intervalle [pic] est prouvée de manière
analogue en choisissant [pic]et [pic]deux nombres réels quelconques
négatifs tels que [pic].




1. Représentation graphique



|x |-2 |-1 |0 |1 |2 |
|f(x)|4 |1 |0 |1 |4 |




















Remarques :


1) Le tableau de valeurs n'est pas un tableau de proportionnalité. La
fonction carrée n'est donc pas une fonction linéaire.


2) Dans un repère (O, I, J), la courbe de la fonction carré est
appelée une parabole de sommet O.


3) Dans un repère orthogonal, la courbe de la fonction carré est
symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Exercices conseillés En devoir Exercices
conseillés En devoir
|Ex 18 à 24 |p100 n°77 | |-p107 n°45 à |-p107 n°53 |
|(page 10 et | | |52 |p108 n°68 |
|11) | | |p107 n°54, 55 |-p108 n°58 |
|p94 n°28 | | |-p108 n°56, 57| |
|p99 n°73* | | | | |
| | | |-p100 TP3 | |
| | | |-p328 et 329 | |
| | | |AP | |


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Fonction inverse



[pic] Vidéo https://youtu.be/Vl2rlbFF22Y



Définition



La fonction inverse [pic]est définie sur ? \[pic] par [pic].


Remarques :


- ? \ [pic] désigne l'ensemble des nombres réels sauf 0, c'est-à-
dire
]-( ;0[ U ]0 ;+([. On peut aussi noter cet ensemble ?*.


- La fonction inverse n'est pas définie en 0.





Variations


Propriété :
La fonction inverse est décroissante sur l'intervalle [pic] et
décroissante sur l'intervalle[pic].


Remarque :


La variation d'une fonction ne peut s'étudier que sur un intervalle.
On ne peut donc pas évoquer de décroissance sur ]-? ; 0[ U ]0 ; +?[
qui n'est pas un intervalle mais conclure de manière séparée que la
fonction inverse est décroissante sur l'intervalle [pic] et
décroissante sur l'intervalle[pic].


Démonstration :


- Soient a et b deux nombres réels strictement positifs avec a <
b. [pic].
Or a > 0, b > 0 et a - b < 0. Donc [pic].
[pic] est ainsi décroissante sur l'intervalle[pic].


- La décroissance sur l'intervalle[pic] est prouvée de manière
analogue.











1. Représentation graphique


|x |-2 |-1 |0,25 |1 |2 |3 |
|f(x) |-0,5 |-1 |4 |1 |0,5 |[pic] |










[pic]




Remarques :


1) Dans un repère (O, I, J), la courbe de la fonction inverse est une
hyperbole de centre O.


2) La courbe de la fonction inverse est symétrique par rapport à
l'origine.




Exercices conseillés En devoir
Exercices conseillés En devoir
|Ex 25 à 29 |Ex 30 (page 12)| |-p108 n°70 à |-p109 n°76 |
|(page 11) | | |74 | |
|p96 n°58* | | |p109 n°75, 77 | |
| | | |p114 n°122* |- p109 n°88 |
| | | |-p109 n°80 à | |
| | | |82, 84 | |


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Edition 2014





1.
Soit un rectangle de côtés de longueurs x et 2.
1) a) Ecrire en fonction de x, l'expression d'une fonction donnant le
périmètre de ce rectangle.
b) Cette fonction est-el