Courbes de Bézier

[pic] Objectif
Tracer une courbe contrôlée par des contraintes représentées par des points
appelés points de contrôle.
Les courbes de Bézier se construisent à partir des polynômes de Bernstein.
Polynômes de Bernstein 2
Courbe de[pic]contrôlée par des points 4
Equations paramétriques de la courbe 5
Exemple de courbe de[pic]contrôlée par 4 points: équations paramétriques.
6
Etude de la courbe de Bézier à partir de ses équations paramétriques 7
Informations nécessaires à la construction de la courbe 8
Construction de la courbe 10
Tangente à une courbe paramétrée 11
Application à l'exemple 12
Polynômes de Bernstein Si X est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale B (n, p), cette
variable aléatoire prend toutes les valeurs de l'ensemble d'entiers {0,
1,2,....n} et les probabilités de prendre ces valeurs sont : [pic] Comme p est une probabilité p est choisi dans l'intervalle [0, 1].
Envisageons p comme une variable notée t par exemple, nous obtenons pour
tout entier k (k=0, 1,2,......n) une fonction définie sur [0, 1] par : [pic]
Exercice
Exprimer [pic]pour k=0, 1, 2,3.
Résoudre les équations[pic]pour k=0, 1, 2,3.
Solution [pic] Haut du document
Rappel
[pic] [pic]
Courbe de[pic]contrôlée par des points On se place dans le plan, repéré par un repère d'origine O. On fixe n+1 points[pic]dans le plan.
A chaque valeur de t ([0,1] on fait correspondre le point M (t) du plan
défini de la manière suivante : [pic] Exemple
[pic]
[pic] Exercice
Dans le cadre de l'exemple vérifier que[pic]
Réponse Cela provient du fait suivant:
[pic] Haut du document Equations paramétriques de la courbe Un point M(t) du plan a des coordonnées x(t) et y(t) qui sont des fonctions
de la variable t. [pic]
Vocabulaire
Les expressions des fonctions[pic]s'appellent "équations
paramétriques de la courbe".
Haut du document
Exemple de courbe de[pic]contrôlée par 4 points: équations paramétriques.
Exemple Equations paramétriques de la courbe de Bézier controlée par les 4
points P0,P1,P2,P3
[pic]
Haut du document Etude de la courbe de Bézier à partir de ses équations paramétriques
Lorsque les équations paramétriques sont connues pour construire la courbe
correspondante on construit le tableau de variations conjoint des deux
fonctions x (t) et y (t).
|t |0 |
| |1 |
|x' |signe |
|(t) | |
|y' |signe |
|(t) | |
|x (t)|variations |
|y (t)|variations |
Exemple étudié
[pic] |t |0 0.5 |
| |1 |
|x' |3 ( 0 |
|(t) |( (( |
|y' |0 ( 1.5 |
|(t) |( 0 |
|x (t)|0 [pic] .75 |
| |[pic] 0 |
|y (t)|0 [pic] .5 |
| |[pic] [pic] 1 |
Informations nécessaires à la construction de la courbe
Il faut bien se rendre compte que nous n'étudions pas y en fonction de x
mais x en fonction de t et y en fonction de t, nous voulons représenter
tous les points du plan de coordonnées (x (t), y (t)) lorsque t varie de 0
à 1.
4 cas de variations conjointes de x et y peuvent se présenter :
(I) |t |a |
| |b |
|x (t)|x (a) [pic] |
| |x (b) |
|y (t)|y (a) [pic] |
| |y (b) | (II) |t |a |
| |b |
|x (t)|x (a) [pic] |
| |x (b) |
|y (t)|y (a) [pic] |
| |y (b) | (III)
|t |a |
| |b |
|x (t)|x (a) [pic] |
| |x (b) |
|y (t)|y (a) [pic] |
| |y (b) |
(IV)
|t |a |
| |b |
|x (t)|x (a) [pic] |
| |x (b) |
|y (t)|y (a) [pic] |
| |y(b) | Remarque Si x et y varient dans le même sens, la portion de courbe est représentée
comme si y était une fonction croissante de x (le sens de parcourt sur la
courbe dépend du sens de variations de x et y en fonction de t).
Si x et y varient dans des sens opposés, la portion de courbe est
représentée comme si y était une fonction décroissante croissante de x (le
sens de parcourt sur la courbe dépend du sens de variations de x et y en
fonction de t)
Haut du document Construction de la courbe Nous sommes dans les cas (I) et (IV). |T |0 0.5 |
| |1 |
|x' |3 ( 0 |
|(t) |( (( |
|y' |0 ( 1.5 |
|(t) |( 0 |
|x (t)|0 [pic] .75 |
| |[pic] 0 |
|y (t)|0 [pic] .5 |
| |[pic] [pic] 1 | I) (IV) INFORMATIONS La courbe de Bézier passe toujours par le premier point et par le dernier
point(ne passe pas par les autres points en général, mais cela est tout de
même possible).
La tangente au premier point passe par le deuxième point, la tangente au
dernier point passe par l'avant dernier point.
Haut du document
Tangente à une courbe paramétrée Le vecteur vitesse en un point M (t0)
C'est un vecteur directeur de la tangente; voici ses coordonnées : [pic]. C'est le vecteur vitesse au point M (t0).
Pour qu'un point M(x, y) soit situé sur la tangente en M (t0) il faut et il
suffit que le vecteur d'origine M (t0) et d'extrémité M soit colinéaire au
vecteur vitesse en t0 ce qui s'exprime par l'équation: [pic]
En développant ce déterminant on obtient l'équation d'une droite. Haut du document
Application à l'exemple
Rappelons les équations paramétriques de la courbe de Bézier controlée par
les 4 points [pic]
[pic] Equation de la tangente au point [pic] [pic] Coordonnées du point [pic] [pic] Coordonnées du vecteur vitesse [pic]
Equation de la tangente au point [pic] [pic] 96y - 80x + 105 = 0 Haut du document
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O M (t)
( O M (t)
(
[pic] [pic] [pic] 1 0 1 P3 P2 P0 P1 P2 P2 (I) (II) P0 (M(.5) P3 1 .5 0 0 .75
1 [pic] M (b)
M (a) [pic] [pic] M (a)
M (b) [pic] [pic]
[pic][pic] M (a) M (b) [pic] [pic] [pic] [pic]
[pic] M (b) M (a) 0.5 0.75 P2 (I) (II) P0 P2 [pic]