Puissance - college-therouanne

[pic][pic][pic] [pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic] I Puissance d'un nombre relatif avec exposant positif
1. Définition
a étant un nombre relatif,
n un nombre entier positif (?0)
n facteurs
n s'appelle l'exposant
an est une puissance de a et se lit « a exposant n » ou « a puissance
n »
2. Exemples
32 = 3 x 3 = 9
25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32 (il y a 5 facteurs 2) ne pas
confondre avec 2 x 5 = 10
(-3)4 = (-3) x (-3) x (-3) x (-3) = 27 l'exposant est
pair donc le produit est positif
- 34 = - 3 x 3 x 3 x 3 = - 27 l'exposant s'applique au
nombre 3
) = x x = =
cas particuliers : a étant un nombre relatif,
a1 = a un nombre sans exposant est
toujours à la puissance 1
par convention a0 = 1 pour tout nombre a ? 0, a0 = 1
a2 se lit « a au carré »
a3 se lit « a au cube »
3. Utilisation de la calculatrice Pour calculer 25 modèle Casio 2 x+ 5 =
affichage 32 modèle TI 2 5 = on trouve parfois 2 5 = ou 2 xy
5 = 4. Puissances de 10
La définition est la même lorsque a = 10
n facteurs
n zéros
Exemples : 102 = 10 x 10 = 100 (il y a 2 zéros)
104 = 10 x 10 x 10 x 10 = 10 000 (il y a 4 zéros)
1010 = 10 x 10 x ........... x 10 (il y a 10
facteurs 10)
= 10 000 000 000 ( il y a 10 zéros)
106 c'est 1 million, 109 c'est 1 milliard
Comment multiplier un nombre par une puissance de 10 ?
Exemple :
23,5275x 103 = 23 527,5 On déplace la virgule vers la
droite (ici de 3 rangs)
1,8 x 104 = 18 000,0 = 18 000 (ici de 4 rangs)
II Puissance d'un nombre relatif avec exposant négatif
1. Définition a étant un nombre relatif non nul
n un nombre entier positif (?0) 2. Exemples
3-2 = = (-5)-3 = = ) = ) = x =
3. Cas particulier 4-1 = c'est l'inverse de 4 comme a-
1 est l'inverse de a
4. Puissances négatives de 10 10-1 = = 0,1 (un dixième)
10-2 = = 0,01 (un centième)
10-3 = = = 0,001 il y a 3 chiffres après la virgule, le
dernier est 1. (un millième)
10-6 = = 0,000 001 il y a 6 chiffres après la virgule, le
dernier est 1 (1 millionième)
Comment multiplier un nombre par une puissance négative de
10 ?
Exemples :
123,5 x 10-2 = 1,235 On déplace la virgule
vers la gauche (ici de 2 rangs)
5,37 x 10-3 = 0,00537 (ici de 3 rangs)
III Ecriture scientifique d'un nombre décimal
Un nombre décimal peut s'écrire de différentes façons sous la forme a
x 10n
Exemples : 23 500 = 235 x 102 = 23,5 x 103 = 2,35 x 104 est l'écriture
scientifique 0,0087 = 87 x 10-4 = 8,7 x 10-3 est
l'écriture scientifique.
- 1995 = -199,5 x 10 = -19,95 x 102 = -1,995 x 103 est
l'écriture scientifique
L'écriture scientifique d'un nombre décimal est de la forme a x 10n,
le nombre a ayant un seul chiffre avant la virgule (?0) et n étant un
nombre relatif.
Quelques préfixes :
1012 |109 |106 |103 |102 |10 |10-1 |10-2 |10-3 |10-6 |10-9 |10-12 | |téra
|Giga |méga |kilo |hecto |déca |déci |centi |milli |micro |nano |pico | |T
|G |M |k |h |da |d |c |m |? (mu) |? (nu) |p | |
IV Calculs avec les puissances
1. Règles et exemples
a et b désignent deux nombres relatifs non nuls, n et p désignent deux
nombres entiers relatifs :
Les règles de calculs : an x ap = an + p
|= an - p
|
(10n) = 10n x p |
(a x b)n = an x bn |) = | |
Exemples : 23 x 24 = 23 + 4 = 27 107 x 10-9 =
107 + (-9) = 10-2
= 74 - 3 = 71 = 7 = 105 - 3 = 102
= 32 - 5 = 3-3 = = 103 - 5 = 10-2 = 0,01
(102)5 = (10)2 x 5 = (10)10
(3x)2 = 32 x x 2 = 9x 2
) = =
2. Règles de priorité
En l'absence de parenthèses, on calcule dans l'ordre
. les puissances
. les produits et quotients
. les sommes et différences exemples : 3.Exercices et problèmes:
1) (d'après Brevet) On donne l'expression E =
Calculer E et donner le résultat en écriture décimale
Donner l'écriture scientifique du résultat. 2) Une fourmi mesure en moyenne 2 mm de long. Combien de
fourmis devraient- elles se mettre en file indienne pour
faire le tour de la terre ?
Réponse à 1 milliard près.
(la formule de la longueur d'un cercle est L = 2 ? R
on prendra 6400 km pour le rayon de la terre et 3,14 pour
la valeur de ?) 3) Une « année lumière » est la distance parcourue en
un an par la lumière. Calculer cette distance sachant que
la lumière se propage à la vitesse de 300 000km par seconde .
(Réponse en écriture scientifique)[pic][pic][pic]
----------------------- 10n = 10 x 10 x .........x 10 = 1 00........0 an = a x a x a x .........x a 7 - 52 x (19 - 3 x 7)3 = les calculs entre parenthèses sont prioritaires
7 - 52 x (19 - 21)3 =
7 - 52 x (-2)3 = les puissances
7 - 25 x (-8) = le produit
7 - (-200) =
7 + 200 =
207 7 - 4 x 52 =
7 - 4 x 25 =
7 - 100 =
-93 10-n = = 0, 00...01 a-1 = a-n = , a-n est l'inverse de an
üýt
ttttttttttn chiffres après la virgule