Tangente à une courbe (1ère approche)

1ère L Option |Tangente à une courbe | |
Objectif du chapitre : Les mathématiciens connaissent depuis l'antiquité la notion de tangente à
un cercle.
Pour diverses raisons, notamment en lien avec la physique, à partir du
XVIIe siècle, les mathématiciens se sont intéressés au tracé de la tangente
en un point pour d'autres courbes que des cercles.
Leurs travaux sur les tangentes ont permis de définir la tangente à des
courbes autres que des cercles, par exemple des paraboles, des hyperboles
etc. Ils ont aussi débouché sur une notion essentielle en mathématiques
dans l'étude d'une fonction qui va être étudiée dans les chapitres
suivants. Dans ce chapitre, nous allons reprendre certaines de leurs méthodes pour
commencer à dégager quelques idées intuitives qui mènent à la notion de
tangente. Dans ce chapitre, nous ne ferons aucun calcul, nous nous contenterons
d'observer et de comprendre ce qui se passe, sans pousser davantage. Ce chapitre est une première approche de la notion de tangente.
Cette étude sera poussée davantage dans les chapitres suivants. I. Le mot « tangente » a plusieurs sens 1°) C'est un nom commun. - tangente à un cercle
- tangente d'un angle dans un triangle rectangle (ce n'est pas cela qui va
nous intéresser dans ce cours). 2°) C'est un adjectif. On dit qu'un cercle est tangent à une droite ou qu'une droite est tangente
à un cercle.
On dit que deux cercles sont tangents l'un à l'autre (extérieurement ou
intérieurement). II. La tangente à un cercle 1°) Définition (rappel) |La tangente à un cercle en un point est la droite perpendiculaire au |
|rayon en ce point. | [pic] 2°) Tracé de la tangente à un cercle avec papier - crayon Instruments utilisés : règle non graduée et équerre. 3°) Propriété caractéristique |La tangente à un cercle ne coupe celui-ci qu'en un|
|seul point. | Attention : il n'y a pas de zone de contact ou d'intersection. La notion de tangente est utile en mathématique pour préciser la position
d'une droite par rapport à un cercle. 4°) Vocabulaire « point de contact » = « point de tangence » 5°) Origine du mot « tangente » Tangente < tangere en latin qui signifie « toucher »
Au XVIIe siècle, on ne parlait pas de tangente mais de « touchante ». III. Tangente à une courbe qui n'est pas un cercle 1°) Obstacles et difficultés On va considérer une courbe bien connue et importante en mathématiques : la
parabole représentative de la fonction carrée (nous ne ferons aucun calcul
dans ce chapitre). Ce qui change entre un cercle et une parabole.
Problème du passage de la tangente à un cercle à la tangente à une
parabole.
La définition ne peut pas être adaptée aisément. La définition de la tangente à un cercle se révèle insuffisante pour
définir la tangente à d'autres courbes que des cercles. De même que la
propriété caractéristique. Il faut trouver autre chose. 2°) L'idée de Fermat : « les droites qui tournent » ; mise en ?uvre d'une
démarche dynamique Nous allons décrire dans ce chapitre une démarche originale et un peu
déroutante de prime abord, due au mathématicien Pierre de Fermat (XVIIe
siècle). Cette démarche n'aura pas à être refaite en exercice. L'idée de Fermat : créer un point mobile M proche de A, tracer la droite
(AM), faire bouger M sur la courbe de manière à faire se rapprocher M de A
(ce qui a pour effet de faire tourner la droite (AM) autour du point A).
IV. Mise en ?uvre de l'idée de Fermat 1°) Utilisation d'une règle non graduée On travaille avec papier - crayon. Cette méthode est approximative. 2°) Utilisation d'un LGD* On travaille sur ordinateur. J'ouvre deux fenêtres Geogebra. |Pour un cercle |Pour une parabole |
|Dans le plan |Dans le plan muni d'un repère |
|Perpendiculaire au rayon en un point |? |
|Visualisation avec Geogebra |Une parabole n'a ni centre ni rayon |
|Droite qui coupe le cercle en un seul |Droite qui coupe la courbe en un seul |
|point |point |
|Visualisation avec Geogebra aussi |Problème : non généralisable à d'autres |
| |courbes |
|Position limite des sécantes |Position limite des sécantes |
|Visualisation avec Geogebra |Intérêt : généralisable à toutes les |
|Création de la droite mobile (« droite |autres courbes |
|qui tourne ») |Visualisation avec Geogebra (« droite qui|
| |tourne ») | Pour la tangente à un cercle, je cache les axes du repère. Visualisation de la commande « Tangente[A,f] » avec Geogebra.
Lorsque le point M se rapproche du point A, l'angle entre la droite (AM) et
la tangente diminue.
En un autre point, par exemple au point O, quelle est la tangente ? La méthode s'adapte pour d'autres courbes (par exemple, l'hyperbole
représentative de la fonction inverse).
Le mode de trace activée. V. Observation de la courbe de la fonction carrée On note C la courbe de la fonction carrée dans un repère. 1°) Tangente au point O On place un point M sur la courbe C distinct de O.
On trace la droite (OM).
On voit bien que la droite (OM) n'est pas tangente à la courbe. On observe la droite (OM) lorsque M se rapproche de O par la gauche, par la
droite.
Mise en évidence d'une position limite : l'axe des abscisses.
Description de la zone arrondie au sommet de la parabole. 2°) Tangente en un point A autre que O (par exemple A(1 ; 1)) On va prendre par exemple A(1 ; 1). On place un point M sur la courbe C distinct de A.
On trace la droite (AM).
On voit bien que la droite (AM) n'est pas tangente à la courbe. On observe la droite (AM) lorsque M se rapproche de A par la gauche, par la
droite.
Mise en évidence d'une position limite. Description de la position de (AM) par rapport à la courbe (au-dessous, au-
dessous, sécante). Nous admettrons qu'en tout point A de la parabole, il existe une position
limite de la droite (AM) lorsque M se rapproche de plus en plus de A, sans
jamais être confondu avec A.
Cette position limite est appelée la tangente en A à la courbe.
Cette droite ne peut pas être désignée par deux points (le point a et un
autre point de la courbe).
On la désignera par une seule lettre : T. 3°) Généralisation Nous admettrons qu'en tout point A de la parabole il existe une tangente.
Nous admettrons que cela reste valable pour toutes les courbes des
fonctions de référence étudiées en seconde (fonctions linéaires, affines,
carré et inverse) ainsi que pour les courbes des fonctions que nous
étudierons cette année.
Nous approfondirons cette notion dans les chapitres suivants. En
particulier, nous verrons le tracé précis des tangentes. VI. Mise en forme de quelques idées 1°) Notion de sécante Définition A et B sont deux points quelconques distincts sur une courbe C. La droite (AB) est appelée une sécante à la courbe.
On dit aussi que (AB) est une corde. 2°) Quelques remarques simples A est un point fixé d'une courbe C.
M est un point mobile de C. Lorsque M se rapproche de A, on peut observer : - que la distance AM diminue
- on peut observer la position de la courbe par rapport à la droite (AM) | |
|Une première idée à noter vraiment dans le cours : |
|Plus le point M est proche de A, plus la droite (AM) est « proche » de la courbe au|
|voisinage de A. |
3°) Définition provisoire de la tangente à une courbe |La tangente en A est la position limite des sécantes (AM) lorsque M se rapproche de |
|plus en plus de A. | Corrélativement, la tangente va apparaître comme la droite qui est « la
plus proche » de la courbe au voisinage du point en lequel elle est
tangente. Cette idée est renforcée par l'observation de « zooms » successifs au
voisinage du point A.
La courbe devient quasiment une droite ; on peut la tracer. Puis en
dézoomant, cette droite reste à l'écran. C'est la tangente.
On peut observer la zone autour du point A. 4°) Vocabulaire Le vocabulaire de point de contact et de point de tangence vu pour un
cercle reste valable pour une courbe quelconque. VII. Enveloppe des tangentes Utilisation d'un LGD*
Mode trace activée.
La courbe apparaît comme l'enveloppe de ses tangentes. *LGD : logiciel de géométrie dynamique. A la fin de la séance, les élèves doivent avoir compris la notion de
tangente.
- La tangente est une droite attachée à la courbe en un point.
- La courbe vient « longer » la tangente.
- On a lutté contre les idées fausses. La tangente peut recouper la courbe
en un ou plusieurs autres points.
La courbe vient épouser la forme de la tangente au voisinage du point. Intérêt de la méthode des droites qui tournent : tracé approché d'une
tangente.
On se place au point A. On prend la règle. Vers la notion de tangente
Rappel sur la tangente à un cercle En latin, toucher se dit tangere. Les mathématiciens en ont fait le mot
tangente.
Problème : peut-on adapter cette définition pour une courbe autre qu'un
cercle ? On tombe sur un os. II. Tangente à une courbe (+ autres choses dans quelques paragraphes ?) Utilisation d'un LGD*. Animation avec Geogebra (curseur)
Bilan
|Ce chapitre a permis : |
| |
|- de dégager la notion de « corde » ou de « sécante »