ESSI 1

ESSI 1
2002-2003
Probabilités
Feuille 1 : premières propriétés des probabilités
Corrigé

Exercice 1 : Quelles épreuves ?
. Quel est l'espace des épreuves dans chacune des expériences
suivantes , est il fini , dénombrable, ni l'un ni l'autre ?:
- Une élection doit permettre de choisir entre le candidat A et le
candidat B
- Un dé à 4 faces est lancé
- On demande à un individu pris au hasard dans la rue, son mois et
son jour de naissance
- On choisit au hasard un élève dans cette salle
- Une note sur 20 vous est donnée à un examen
- Un dé est jeté jusqu'à ce qu'un 6 sorte, ce qui détermine la fin
de l'expérience.
- On choisit un point sur une droite
. Parmi ces expériences, quelles sont celles pour lesquelles il est
raisonnable de penser que la probabilité est une loi uniforme ? Espace des épreuves dans chacune des expériences suivantes :
Une élection doit permettre de choisir entre le candidat A et le candidat
B.
?={A,B} est fini, la loi est une loi uniforme seulement si les deux
candidats ont égalité des chances, ce n'est pas très raisonnable comme
hypothèse.
Un dé à 4 faces est lancé
?={1,2,3,4} est fini . Ici une loi uniforme est raisonnable
On demande à un individu pris au hasard dans la rue, son mois et son jour
de naissance
Si on choisit ?={{janvier,...décembre}x{1..31}} . La loi n'est pas
uniforme la probabilité de naître un 31/Février est nulle.
Si on choisit ?={les 366 jours possibles }. La loi est presque uniforme
la probabilité de naître un 29 Février est toutefois très différente des
autres.
Dans tous les cas ? est fini
On choisit au hasard un élève dans cette salle.
?={élèves de la classe} est fini. La loi est uniforme, c'est exactement
ce qu'on veut dire par au hasard
Une note vous est donnée à un examen
?= [0..20] est fini . La loi n'est pas uniforme
Un dé est jeté jusqu'à ce qu'un 6 sorte, ce qui détermine la fin de
l'expérience.
?={m6/ m? {1,2,3,4,5}*}. ? est infini, dénombrable La probabilité n'est
pas uniforme
On choisit un point sur une droite
?={tous les points de la droite, }. ? est infini, non dénombrable La
probabilité est uniforme.

Exercice 2.
Soient E, F et G trois événements. Trouver des expressions pour les
événements qui sont réalisés lorsque de E,F et G
- Seul E l'est : E (Fc(Gc
- E et G le sont, mais pas F : E(Fc(G
- Au moins deux d'entre eux le sont ( Ec(F(G)( ( E(Fc(G) ( (
E(c(Gc) ( ( E(Fc(G)
- Les trois le sont ( E(F(G)
- Aucun ne l'est Ec(Fc(Gc
- Au plus l'un des trois l'est ( Ec(Fc(Gc)( ( Ec(Fc(G) ( (
E(Fc(Gc) ( ( Ec(F(Gc)
- Exactement deux le sont ( Ec(F(G)( ( E(Fc(G) ( ( E(c(Gc)
Exercice 3. Cartes
. Quel est le nombre de manières différentes de choisir un sous-
ensemble de 8 cartes dans un jeu de 32 ? C328=32 ! / 8 ! 24 !
. On choisit 8 cartes, une par une, dans un jeu de 32 cartes et on les
étale devant soi en ligne. Combien d'étalages possibles ? A328=32 ! /
24 !
. On choisit 8 fois de suite une carte dans un jeu de 32 cartes, après
chaque tirage on note le résultat, et on remet la carte dans le jeu.
Combien de résultats possibles ? 328
. Dans lesquels de ces trois cas, les résultats sont-ils équiprobables ?
tous
. Dans le cas de tirage avec remise, qu'elle est la probabilité de
sortir 8 fois l'as de c?ur ? 1/ 328 de sortir tous les c?urs ?88/328 Exercice 4 : Poker
Au poker, on utilise un jeu de 52 cartes avec 4 couleurs de cartes (pique,
trèfle, carreau, c?ur). Une main comprend 5 cartes. Une main est une
couleur si les 5 cartes sont de la même couleur.
- Quelle est la probabilité de recevoir une couleur?4 C135/ C525
- Quelle est la probabilité de recevoir un carré d'as? 13/ C525

Exercice 5 : Pièces
. (={(P,P),(P,F),(F,F),(F,P)}
. P loi uniforme
. E=« la première pièce tombe sur pile »
. F=« la deuxième pièce tombe sur pile » . Calculez P(E), P(F) et P(E(F) : ½, ½, ¾ Exercice 6 : Dates de naissances
. N personnes sont dans une salle. Quelle est la probabilité pour qu'au
moins deux d'entre elles aient la même date de naissance (pour
simplifier, on supposera les naissances équiréparties sur 365 jours
par an). A partir de combien de personnes cette probabilité est-elle
supérieure à ½ ?

Si N est >365, il y a forcément deux personnes nées le même jour, et Pn =1.
Sinon, cette probabilité est égale à 1-P(aucune des N personnes n'ait la
même date de naissance).
Notons Pn la probabilité pour que n personnes prises au hasard aient des
dates de naissances différentes ; Sous l'hypothèse d'une équirépartition
des naissances sur 365 jours.
P1=1
P2=364/365 =0,997 car la deuxième personne doit avoir un jour de naissance
différent de celle de la première
P3=P2.363/365=0,991
Pn= Pn-1.(365-(n-1))/365
C.
Faisons imprimer à Maple, les couples (k, probabilité pour que dans un
groupe de k personnes au moins deux ait la même date de naissance :
> for i from 1 to 50 do print (i ,evalf(1-product ( (366-
k)/365,k=1..i)));od;
1, 0
2, .002739726027
3, .008204165885
4, .01635591247
5, .02713557370
6, .04046248365
7, .05623570310
8, .07433529235
9, .09462383389
10, .1169481777
11, .1411413783
12, .1670247888
13, .1944102752
14, .2231025120
15, .2529013198
16, .2836040053
17, .3150076653
18, .3469114179
19, .3791185260
20, .4114383836
21, .4436883352
22, .4756953077
23, .5072972343
24, .5383442579
25, .5686997040
26, .5982408201
27, .6268592823
28, .6544614723
29, .6809685375
30, .7063162427
31, .7304546337
32, .7533475279
33, .7749718542
34, .7953168646
35, .8143832389
36, .8321821064
37, .8487340082
38, .8640678211
39, .8782196644
40, .8912318098
41, .9031516115
42, .9140304716
43, .9239228557
44, .9328853686
45, .9409758995
46, .9482528434
47, .9547744028
48, .9605979729
49, .9657796093
50, .9703735796
On constate que cette probabilité dépasse 0.5 à partir de 23 personnes. De
même à partir de 57 personnes elle dépasse 0,99, et à partir de 70
personnes elle dépasse 0,999.
. N personnes, dont vous, sont dans une salle. Quelle est la
probabilité pour qu'une autre personne au moins ait la même date de
naissance que vous ((pour simplifier, on supposera les naissances
équiréparties sur 365 jours par an). A partir de combien de personnes
cette probabilité est-elle supérieure à ½ ?
(364/365) N-1 Exercice 7 : Des chaussettes Un tiroir contient n chaussettes dont 3 rouges. Quelle doit être la valeur
de n, pour que si l'on choisit 2 chaussettes aléatoirement, la probabilité
qu'elles soient toutes les deux rouges soit le plus proche possible de ½
La probabilité pour tiere deux chaussettes rouges est C32 / Cn2 =6/n(n-1).
Si n=4, cette probabilité vaut exactement 1/2
Exercice 8 : Des couples
10 couples sont assis au hasard autour d'une table. Calculer la probabilité
pour qu'aucune femme ne soit assise à coté de son mari.
Remarquons tout d'abord qu'il y a 19 ! manière de placer des personnes
autour d'une table ronde, si l'on veut travailler aux permutations près .
Soit Ei l'événement « le couple i est réuni ». La probabilité cherchée est
1-p(U Ei).
Or P(UEi) =( p(Ei) - (p(Ei(Ej)+ (p(Ei(Ej(Ek)+.....-p((Ei)
Calculons p(Ei1(Ei2....(Ein), c'est la probabilité pour que n couples
donnés soient assis l'un à coté de l'autre. On doit donc placer autour de
la table n couples et 20-n autres personnes, il y a
2n. (19-n) !/ 19 ! de le faire
Donc la probabilité pour qu'il y ait au moins un couple réuni est
C101 21 (18 ! )/19 ! - C102 22 (17 ! )/19 !+ C103 231 (16 ! )/19 !+....-
C1010 210 (9 ! )/19 !( 0.6606 La probabilité cherchée est donc de 0,3395