Petit florilège d'exercices autour de la loi normale

Petit florilège d'exercices autour de la loi normale |Exercice 1 (d'après document ressources / Calculs de probabilités sur |
|une loi normale) |
|La production laitière annuelle en litres des vaches laitières de la |
|race FFPN peut être modélisée par une variable aléatoire à densité X, de|
|loi normale de moyenne [pic] et d'écart type [pic]. La fonction [pic] |
|désigne la fonction de densité de cette loi normale. |
|[pic] |
| |
|Afin de gérer au plus près son quota laitier (production maximale |
|autorisée), en déterminant la taille optimale de son troupeau, un |
|éleveur faisant naître des vaches de cette race souhaite disposer de |
|certaines probabilités. |
|a. Calculer la probabilité qu'une vache quelconque de cette race |
|produise moins de [pic] litres par an. |
|b. Calculer la probabilité qu'une vache quelconque de cette race |
|produise entre [pic] et [pic] litres de lait par an. |
|c. Calculer la probabilité qu'une vache quelconque de cette race |
|produise plus de [pic] litres par an. |
|Dans son futur troupeau, l'éleveur souhaite connaître certaine |
|productions prévisibles. |
|a. Déterminer la production maximale prévisible des 30 % de vaches les |
|moins productives du troupeau. |
|b. Déterminer la production minimale prévisible des 20 % de vaches les |
|plus productives du troupeau. | Commentaires
Enoncé : Correctif : dire plutôt modélisation "de toute vache laitière"
(1ère phrase)
Travail classique sur le calcul de probabilités pour une loi à densité,
manipulation de doubles inégalités, retour à la moyenne, recherche
d'antécédents par la fonction de répartition.
Question 1. Savoir utiliser sa machine : les calculatrices fournissent
uniquement [pic] mais pas [pic]. Donc pour le calcul de [pic], on sui la
méthode suivante :
( Si [pic], alors [pic]
( Si [pic], alors [pic]
Commandes TI pour calculer [pic] pour une variable aléatoire
[pic]suivant la loi [pic] :[pic] OU utiliser l'intégration numérique de
la machine... Réponses : 0,3085 / 0,1974 / 0,2660
Question 2. On cherche la valeur [pic] prise par la variable aléatoire
[pic] de sorte d'avoir [pic] puis [pic]. Il s'agit donc de la recherche
d'une image par la "répartition réciproque de la loi normale". En fait on
travaille sans le dire sur la fonction de répartition [pic] définie par
[pic] associée à la loi normale [pic]. Commandes TI pour calculer [pic]
pour une variable aléatoire [pic]suivant la loi [pic] avec la probabilité p
connue [pic]. Pour la seconde recherche, on utilise l'évènement contraire
de [pic]. Réponses : 5790 / 6336
On peut facilement transformer cet exercice en TP (fichier à monter).
Construire la courbe de la fonction de densité de cette loi normale sur
Géogébra puis employer deux curseurs pour fixer les droites d'équations
[pic]et [pic] puis mesurer l'aire sous la courbe.
Question 1 : lire une aire adéquate. Question 2 : positionner
convenablement l'un des curseurs. |Exercice 2 (d'après document ressources / Calculs de |[pic] |
|probabilités sur une loi normale) La | |
|durée de vie d'un certain type d'appareil est modélisée par | |
|une variable aléatoire suivant une loi normale de moyenne | |
|[pic] et d'écart type [pic] inconnus. Les spécifications | |
|impliquent que [pic] de la production des appareils ait une | |
|durée de vie entre 120 jours et 200 jours et que 5 % de la | |
|production ait une durée de vie inférieure à 120 jours. | |
|Quelle est la probabilité d'avoir un appareil dont la durée | |
|de vie est comprise entre 200 jours et 230 jours ? | | Commentaires
On traduit facilement les données de l'énoncé par [pic] et [pic].
On souhaiterait connaître les paramètres de cette loi normale pour calculer
ensuite la probabilité demandée par l'énoncé.
Problème comment déterminer [pic] et [pic] ? L'idée est de se ramener à une
loi connue : on centre et on réduit pour revenir à une loi [pic] suivie par
[pic]. [pic] :
à l'aide de la fonction de répartition de [pic], on trouve [pic].
[pic] : on trouve [pic].
On résout le système : [pic] et [pic]. Reste à calculer la probabilité
demandée : [pic].
|Exercice 3 (d'après document ressources / Intervalle de |[pic] |
|fluctuation et prise de décision) | |
|On admet que dans la population d'enfants de 11 à 14 ans d'un | |
|département français le pourcentage d'enfants ayant eu au moins | |
|une crise d'asthme dans leur vie est de 13 %. | |
|Un médecin d'une commune de ce département est surpris du nombre | |
|important d'enfants le consultant pour des soucis d'asthme. Dans | |
|cette commune, sur un échantillon de 100 enfants entre 11 et 14 | |
|ans choisis aléatoirement, 19 ont déjà eu au moins une crise | |
|d'asthme. Cette proportion est-elle inquiétante? | |
Commentaires
On se retrouve avec le même type d'exercices que dans le stage de l'an
dernier sur les nouveaux programmes de premières. Méthode employée l'an
passé : utiliser la loi binomiale pour déterminer l'intervalle de
fluctuation au seuil de 95 % de la proportion de jeunes de 11 à 14 ans
ayant eu une crise d'asthme dans un échantillon de taille 100. Prendre une
décision à l'aide de cet intervalle.
Même processus cette année sauf que l'on emploie l'intervalle asymptotique
de fluctuation au seuil de 95 % qui constitue une bonne approximation de
l'intervalle de fluctuation exact déterminé en 1ère. Les contraintes
classiques données sont : [pic], [pic] et [pic]. L'intervalle trouvé est
[pic]. La règle de décision est donnée par l'énoncé en fait :
|"Si la fréquence observée est en dehors de l'intervalle de fluctuation |
|asymptotique au seuil de 95 %, on mène une enquête plus poussée". |
Dans la situation de cet exercice, on ne mène donc pas d'enquêtes
supplémentaires.
Nouvelle question : La proposition suivante est-elle vraie ? Argumenter
votre réponse.
"Si le médecin augmente la taille de l'échantillon et observe une
proportion de 19 %, il sera amené à lancer une enquête complémentaire" ;
On en vient à résoudre une inéquation avec la borne supérieure de
l'intervalle de fluctuation asymptotique.
[pic] où [pic]. On trouve 121 sujets avant que la proportion 0,19 ne soit
plus dans l'intervalle de fluctuation asymptotique.
Remarque : Les programmes comme les docs ressources stipulent un intervalle
de fluctuation au seuil de 95 %.
A noter que le seuil serait bien une valeur en dessous de laquelle il ne
faudrait pas descendre. En réalité cet intervalle contient environ 95 % des
fréquences... |Exercice 4 (d'après document ressources / Intervalle de fluctuation et |
|prise de décision) Une compagnie aérienne possède |
|des A340 d'une capacité de 300 places. |
|Cette compagnie vend [pic] billets sur l'un de ses vols. |
|Un acheteur se présente à l'embarquement avec une probabilité [pic] et les |
|comportements des acheteurs sont indépendants les uns des autres. |
|[pic] |
| |
|On note [pic] la variable aléatoire désignant le nombre d'acheteurs d'un |
|billet se présentant à l'embarquement. |
|La compagnie cherche à optimiser le remplissage de ces avions en vendant |
|plus de billets que de places dans l'avion (phénomène de surréservation n |
|>300). La compagnie veut par contre, maîtriser le risque que le nombre de |
|passagers munis d'un billet se présentant à l'embarquement excède 300. |
|Rappeler la loi suivie par [pic]. |
|a. Ecrire l'intervalle de fluctuation asymptotique de [pic] au seuil de 95 |
|%. |
|b. Ecrire l'intervalle auquel la compagnie souhaite qu'appartienne[pic]. |
|c. En déduire une condition sur [pic] et [pic] de la forme [pic] impliquant|
|que la probabilité que le nombre de passagers se présentant à |
|l'embarquement excède 300 est environ 0,05. |
|Etude de la fonction [pic] (pour [pic]). |
|Démontrer qu'il existe un unique entier [pic] tel que [pic] et [pic]. |
|Déterminer cet entier [pic]. |
Commentaires
La variable aléatoire [pic] suit une loi binomiale [pic]. L'objectif de la
compagnie aérienne est d'avoir[pic]. [pic]. Cette égalité est réalisée si
l'intervalle de fluctuation est inclus dans l'intervalle [0 ;300/n]. Donc
la condition cherchée est [pic].
La fonction à étudier ensuite est définie par [pic]. On réinvestit les
variations d'une fonction et le théorème des valeurs intermédiaires. La
détermination de [pic] peut se mener à l'aide d'un tableau de valeurs ou
d'un algorithme... On trouve dans ce cas [pic].
Remarque: exercice que l'on peut proposer en 1ère S en le gérant uniquement
avec des lois binomiales mais une utilisation beaucoup moins souple du
tableur.
|Exercice 5 (d'ap