Exercices supplémentaires sur

Exercices sur les figures et triangles semblables,
& sur le théorème de Thalès A. Figures et triangles semblables
Exercice 1 Les figures suivantes sont-elles toujours semblables ? Justifier ! Sinon,
sous quelle(s) condition(s) supplémentaires ces figures sont-elles
semblables ?
1) Deux rectangles ;
2) Deux parallélogrammes ;
3) Deux triangles rectangles ;
4) Deux trapèzes dont tous les côtés sont deux à deux parallèles. Exercice 2 1) Deux triangles [pic] et [pic] ont des côtés mesurant respectivement 24,
50, et 42 cm pour [pic] ainsi que 25, 21 et 12 cm pour [pic]. Ces
triangles sont-ils semblables ? Si oui, quel est le rapport de
similitude qui permet de passer de [pic] à [pic] ? de [pic] à [pic] ?
Quel est le rapport des aires des deux triangles ?
2) Même question lorsque les côtés de [pic] mesurent 16, 30 et 26 cm et
ceux de [pic] 20, 22.5 et 12 mm. Exercice 3 Deux triangles [pic] et [pic] ont tous les deux un angle de 45° compris
entre deux côtés mesurant respectivement 30 et 60 mm pour [pic] et 13 et 26
mm pour [pic]. Ces triangles sont-ils semblables ? Si oui, quel est le
rapport de similitude qui permet de passer de [pic] à [pic] ? Exercice 4 Deux triangles ABC et A'B'C' rectangles en A et A' respectivement
vérifient : [pic], [pic], [pic], [pic]. Sont-ils semblables ? Justifier
avec un critère approprié. Exercice 5 1) Deux rectangles ont les dimensions 30 x 14 cm et 42 x 90 cm. Ces
rectangles sont-ils semblables ? Si oui, quel est le rapport des
périmètres de ces deux rectangles ?
2) Même question lorsque les dimensions des rectangles sont 10 x 3 m et
15 x 5 m. Exercice 6 Construire un triangle isocèle [pic] dont la base mesure 6 cm et dont les
angles à la base mesurent 70°. Construire un triangle [pic] semblable à
[pic] et tel que le rapport de similitude de [pic] à [pic] soit 1,5. Que
peut-on dire de [pic] ? Justifier ! Exercice 7 Construire un rectangle dont la longueur mesure le double de la largeur.
Construire un deuxième rectangle semblable au premier. Possède-t-il aussi
cette propriété ? Justifier ! Exercice 8 Construire deux triangles non semblables ayant tous les deux un angle de
20° et deux côtés mesurant 8 et 5 cm. Exercice 9 1) On fait un agrandissement d'un losange dont les diagonales mesurent
respectivement 5 et 6 cm au rapport 125%. Déterminer l'aire et le
périmètre du losange image.
2) On fait une réduction d'un triangle équilatéral dont les côtés mesurent
12 cm au rapport 80 %.
a) Calculer la longueur d'un côté du triangle image.
b) Calculer les longueurs des hauteurs du triangle initial et du
triangle image. Exercice 10 1) Démontrer que les triangles DAC et BAE ci-contre sont semblables (les
mesures sont en mm).
2) Quel est le rapport des aires de ces deux triangles ? Exercice 11 Y a-t-il des triangles semblables sur les figures suivantes ? Justifier !
Si oui, préciser le rapport de similitude qui permet de passer de l'un à
l'autre.
1)
[pic] [pic] 2)
[pic]
3)
[pic]
4)
[pic]
5)
[pic]
Exercice 12 [pic]
1) a) Construire sur la figure ci-dessus le point [pic] tel que :
[pic].
b) Construire sur même figure le point [pic] tel que :
[pic]. 2) Même exercice dans le cas de la figure ci-dessous :
[pic]
3) Même exercice dans le cas de la figure ci-dessous : [pic]
Exercice 13 Sur la figure ci-dessous, une similitude s transforme le trapèze ABCD en le
trapèze inversement semblable [pic]. On suppose que [pic] et [pic] (sommets
homologues).
a) Quel est le rapport de la similitude s ?
b) Construire avec précision le trapèze [pic] en utilisant la grille.
c) Déterminer les aires et les périmètres des deux trapèzes. [pic] Exercice 14 Soit ABC un triangle rectangle en A et H le pied de la hauteur issue de A.
1) Démontrer que les triangles ABC, HBA et HAC sont semblables.
2) En déduire que : a) [pic]
b) [pic]
c) [pic]
d) [pic]
3) Additionner membre par membre les deux dernières égalités et en déduire
une nouvelle démonstration du théorème de Pythagore. Exercice 15 ABCD étant un parallélogramme, une droite comprenant A coupe BC en P et CD
en Q. Démontrer que [pic] B. Théorème de Thalès et réciproque
Exercice 16 [pic]
Sur cette figure on fait l'hypothèse que DE // BC. Calculer les longueurs
manquantes parmi [pic]dans les cas suivants :
1) [pic], [pic], [pic], [pic]. 2) [pic]
3) [pic]
4) [pic]
(Les dimensions ne sont pas respectés sur la figure.) Exercice 17 [pic]
Sur la figure ci-dessus, on donne :
[pic], [pic], [pic], [pic], [pic].
Calculer [pic], [pic], [pic], [pic].
Exercice 18 Sur la figure ci-dessus, on suppose que [pic] et on donne dimensions du
trapèze ABCD : [pic],[pic],[pic],[pic].
1) Déterminer le périmètre du triangle OAB.
2) Sachant que [pic], déterminer le périmètre du trapèze CDEF. Exercice 19 On donne :
[pic]= 18 cm
[pic]= 7,6 cm
[pic]= 5 cm
[pic]= 12 cm
Les droites MO et EL sont-elles parallèles ? Exercice 20 Sur la figure ci-dessous, l'unité de longueur est le centimètre.
[pic]
On donne : [pic]= 7,5 ; [pic]= 9 ; [pic]= 6 ; [pic]= 4 ; [pic]= 6.
Les droites DE et BC sont parallèles. 1) Calculer [pic].
2) Démontrer que les droites EF et AB sont parallèles.
3) En déduire la nature du quadrilatère EDBF. Exercice 21 [pic]
Quelle est la hauteur de la tour ? Exercice résolu 22 [pic]
Sur la figure ci-dessus, qui n'est pas en vraie grandeur, IJKL est un
rectangle.
O, M et I sont alignés ainsi que O, K et J. Les mesures en cm sont : [pic]=
7,5 ; [pic]= 3 ; [pic]= 1,5. Calculer les valeurs exactes de [pic] et de
[pic], puis l'arrondi de [pic] au mm. Corrigé :
[pic], donc d'après le théorème de Thalès on a :
[pic]
La longueur [pic] est de 2,5 cm.
Dans le triangle OIJ rectangle en J, d'après le théorème de Pythagore, on
a :
[pic]² = [pic]² + [pic]²
[pic]² = 4,5² + 7,5² = 76,5
[pic]= [pic] cm
[pic](8,7cm
La longueur [pic]est égale à [pic] cm c.-à-d. à environ 8,7cm. Exercice résolu 23 Sur la figure ci-contre, qui n'est pas dessinée en vraie grandeur, les
droites BF et CG sont parallèles.
1) On donne : [pic], [pic] et [pic]. Calculer [pic] puis [pic].
2) On donne : [pic] et [pic]. Démontrer que les droites ED et BF sont
parallèles. Corrigé :
1) Comme FB // CG, on a, d'après la propriété de Thalès :
[pic]
[pic]
2) [pic]
Donc, d'après la réciproque de la propriété de Thalès, les doites EF et BD
sont parallèles. Exercice résolu 24 Sur la figure ci-contre, ROI est un triangle tel que [pic] cm [pic] cm et
[pic] cm. Soit M un point de [RO]. On trace par M la parallèle à OI qui
coupe RI en N. On pose : [pic] avec [pic]. 1) Exprimer les longueurs [pic] et [pic] en fonction de[pic].
2) Montrer que le périmètre p1 du triangle RMN est égal à [pic].
3) Montrer que le Périmètre p2 du trapèze MOIN est égal à [pic].
4) Déterminer [pic] pour que les deux périmètres soient égaux.
Corrigé :
1) D'après la propriété de Thalès on a :
[pic]
Donc : [pic].
2) [pic].
3) [pic]
4) [pic]
[pic]
Les deux périmètres [pic]et [pic] sont égaux si x est égal à 4,8 cm. Exercice 25
Des bateaux participent à une régate. Ils doivent suivre le parcours
suivant (en gras et fléché sur la figure) :
[pic]
On donne : - [pic]= 8 km
- [pic]= 6 km
- [pic]
- [pic]= 90°
- F( DG et M ( DA
- les droites FM et AG sont parallèles. 1) Calculer [pic], [pic] et [pic].
2) Vérifier que la longueur de la régate est de 60 km. Exercice 26 Le carré ABCD ci-contre est subdivisé en 4 morceaux. Sachant que M est le
milieu du côté [pic] et que la longueur d'un côté du carré mesure 1, on
demande de calculer l'aire des 4 morceaux.
Exercice 27 Sur la figure ci-contre, PQ //AC et QR //BD.
1) Démontrer que :
[pic].
2) Que peut-on dire de R lorsque [pic] ? Exercice 28 Dans un trapèze convexe ABCD, la grande base [pic] mesure le double de la
petite base [pic]. Démontrer que si O est le point d'intersection des côtés
non parallèles BC et AD, alors [pic] et [pic]. Exercice 29 1) Dans un triangle quelconque ABC, la bissectrice intérieure de l'angle
[pic], notée b, coupe le côté [pic] en I. La parallèle à b passant par
C coupe AB en [pic]. Faire une figure.
2) Montrer que le triangle [pic] est isocèle en raisonnant sur les angles.
3) En déduire à l'aide du théorème de Thalès que :
[pic].
4) Enoncer le théorème ainsi démontré. Exercice 30 [pic]
Sur la figure on fait les hypothèses : [pic] et [pic].
Démontrer que :
1) [pic]
2) [pic]
Exercice 31 Sur la figure ci-contre ABCD est un trapèze de bases parallèles [pic] et
[pic]. Les diagonales [pic] et [pic] se coupent en O. La parallèle aux deux
bases du trapèze passant par O coupe [pic] en P et [pic] en Q. 1) Montrer que : [pic]. Indication : Appliquer le théorème de Thalès dans
les triangles ACD et BCD.
2) En déduire le théorème du papillon : Si AB // CD, alors les deux
triangles OAD et OBC ont même aire. Exercice 32 1) Montrer que si a, b, p et q sont des réels strictement positifs alors :
[pic] 2) Sur la figure suivante on fait les hypothèses que : Montrer que sous ces hypothèses [pic] et [pic].
Que peut-on en déduire quant aux points P et Q ?
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