CORRIGE EXERCICE 4

CORRIGE EXERCICE 4
BAC S ANTILLES GUYANE SEPTEMBRE 2007


Suites. Logarithme népérien. Exponentielle.


Partie A

1. Si v0 = ln a, alors u0 = e- lna + 1
u0 = [pic] + 1
u0 = [pic] + 1
Réponse a

2. Si v est strictement croissante, alors - v est strictement décroissante
et par composée, e-v est strictement décroissante
[pic] > 0
D'où : [pic] + 1 > 0 + 1
u est strictement décroissante et minorée par 1

Réponse d

3. Si [pic] + ?, alors par composée [pic] = 0 et u converge vers 1
Réponse c

4. Si v est majorée par 2, alors v < 2
- v > - 2
e- v > e- 2 car la fonction exponentielle est croissante
e- v + 1 > e- 2 + 1
u est minorée par 1 + e- 2

Réponse b

Partie B

un = [pic] + 1
[pic] = un - 1
[pic] = un - 1
[pic] = [pic]
vn = - ln (un - 1)
ln(un) + vn = ln(un) - ln (un - 1)
Or : un > un - 1
ln (un) > ln (un - 1) car la fonction logarithme est croissante
ln (un) - ln (un - 1) > 0
ln (un) + vn > 0