Raisonner, argumenter : état des lieux en mathématiques dans le ...

Raisonner, argumenter : état des lieux en mathématiques dans le secondaire Les références :
Introduction des programmes de collège (août 2008)
Document-ressource « Raisonnement et démonstration au collège » (dgesco,
juin 2009)
Document-ressource pour le lycée : « Notations et raisonnement
mathématiques » (dgesco, juillet 2009) Ce que dit le programme de collège
« La résolution de problèmes, en mathématiques, recouvre plusieurs
activités qui, toutes, s'appuient sur le raisonnement de l'élève. Ces
activités, parfois successives mais souvent imbriquées, peuvent se décliner
en compétences :
. lire, interpréter et organiser l'information ;
. s'engager dans une démarche de recherche et d'investigation ;
. mettre en relation les connaissances acquises, les techniques et les
outils adéquats pour produire une preuve ;
. communiquer par des moyens variés et adaptés - aptes à convaincre - la
solution du problème. »
Le programme distingue le raisonnement - constitué de la recherche, de la
découverte et de la production d'une preuve -, de la démonstration
formalisée qui est la forme aboutie, structurée sous forme déductive et
rédigée, de ce raisonnement.
La mise en forme écrite d'une preuve formalisée ne fait pas partie des
exigibles du socle commun. Le document-ressource « Raisonnement et démonstration au collège » rappelle
que :
. raisonner en mathématiques, ce n'est pas seulement pratiquer le
raisonnement déductif,
. un raisonnement déductif peut être considéré comme complet même s'il n'a
pas une mise en forme canonique.
Il présente, dans le domaine scientifique, deux types de raisonnement : le
raisonnement par induction et présomption ; le raisonnement déductif.
En mathématiques, un raisonnement par induction donnera lieu à une
conjecture dont la véracité sera ensuite établie par un raisonnement
déductif (excepté le cas de l'invalidation, par un contre-exemple, d'une
propriété universelle).
Il attire l'attention des enseignants sur la différence entre argumenter et
démontrer d'une part, persuader et convaincre d'autre part.
« Certains arguments peuvent nous persuader (pour une conjecture) mais ils
sont trop faibles pour convaincre en mathématique car ils n'ont pas valeur
de preuve. »
Une annexe « raisonner en mathématiques et ailleurs » confronte
succinctement le point de vue des mathématiques à celui du français et des
sciences humaines, ou celui des sciences expérimentales. Le document-ressource « Notations et raisonnement mathématiques » présente
les outils logiques permettant la construction de preuves formalisées.
1) Confronter les pratiques argumentatives des disciplines à partir du
tableau suivant |Champs et enjeux |Orientations argumentatives |Opérations monologiques et |Métalangage de |
| | |dialogiques mises en ?uvre |l'argumentation |
|Les enjeux de la pratique de |Le raisonnement en |Mise en place d'opérations |Choix lexicaux, vocabulaire |
|l'argumentation en |mathématique est « un type |langagières logiques, |de l'argumentation : |
|mathématiques |particulier |dialogiques, stratégies |Dans le raisonnement déductif|
|sont d'apprendre aux élèves |d'argumentation », c'est |argumentatives (apprendre à |formalisé (démonstration) |
|à (les champs sont en gras) :|« une opération discursive |justifier ses idées) |l'argumentation se fait en |
| |par laquelle on conclut | |général en 3 temps : |
|Modéliser et s'engager dans |qu'une ou plusieurs | |L'énoncé des données ou |
|une activité de recherche |propositions (prémisses) | |hypothèses de la situation |
|(prise d'initiative) |impliquent la vérité, la | |(si... quand... on sait |
|Conduire un raisonnement, une|probabilité ou la fausseté | |que...) ; |
|démonstration |d'une autre proposition | |L'énoncé de la propriété qui |
|Participer à un débat |(conclusion) ». | |permet de déduire des |
|scientifique (place de la |Il est structuré en 2 | |prémisses la conclusion |
|parole) : la parole est libre|phases : une phase inductive | |(d'après ...) ; |
|dans ce type de débat mais ce|pour trouver une(des) | |La conclusion (donc... |
|dernier est structuré par des|conjecture(s) (raisonnement | |alors...). |
|règles précises comme : |par induction - présomption) | |Mais cette forme n'est pas la|
|un contre-exemple suffit pour|puis une phase déductive pour| |seule correcte, des |
|invalider un énoncé, |la(les) valider ou invalider.| |raisonnements déductifs |
|« universel ». | | |formalisés différemment sont |
|pour débattre on s'appuie sur|La visée du raisonnement en | |travaillés et doivent être |
|un certain nombre de |mathématiques est de | |valorisés, par exemple : |
|propriétés ou définitions sur|convaincre par une suite | |La conclusion est énoncée en |
|lesquelles on s'est mis |d'arguments raisonnables un | |premier (ce quadrilatère est |
|d'accord, |auditoire mais en visant un | |un parallélogramme) ; |
|des exemples qui vérifient un|destinataire plus général. On| |Suivie des prémisses (car... |
|énoncé « universel » ne |ne cherche donc pas en | |parce que ces diagonales se |
|suffisent pas à prouver qu'il|mathématiques à persuader un | |coupent en leur milieu) et de|
|est vrai, |destinataire particulier, | |la propriété justifiant le |
|une constatation sur un |individu ou groupe, dont on | |lien de causalité (et parce |
|dessin ne suffit pas à |sollicite les attentes, les | |que tout quadrilatère ayant |
|prouver qu'un énoncé est |rêves ou les émotions. | |ses diagonales qui se coupent|
|vrai. | | |en leur milieu est un |
|Pratiquer une activité | | |parallélogramme). |
|expérimentale ou | | |Des raisonnements formalisés |
|algorithmique (prise | | |de manière incomplète ou |
|d'initiative) | | |incorrecte doivent aussi être|
|Faire une analyse critique | | |valorisés : |
|d'un résultat, d'une démarche| | |Absence de la propriété ou |
|(développement de l'esprit | | |d'une partie des prémisses. |
|critique) | | | |
|Pratiquer une lecture active | | | |
|de l'information (critique, | | | |
|traitement), en privilégiant | | | |
|les changements de registre | | | |
|(graphique, numérique, | | | |
|algébrique, géométrique) | | | |
|(développement de l'esprit | | | |
|critique) | | | |
|Utiliser les outils logiciels| | | |
|(ordi. ou calc.) adaptés à la| | | |
|résolution d'un problème | | | |
|(maîtrise des nouvelles | | | |
|technologies et prise | | | |
|d'initiative) | | | |
|Communiquer à l'écrit et à | | | |
|l'oral (maîtrise de la | | | |
|langue) | | | | 2) Proposer