correction BB 2 2008 - St Gabriel Valreas

Correction BREVET BLANC 2 6 2008 Exercice 1 :
1. Ecrire le résultat fourni par le programme lorsque le nombre choisi au
départ est noté x.
Choisir un nombre :
x
lui ajouter 4 :
x + 4
multiplie la somme obtenue par le nombre choisi : (x + 4 ) ( x
ajouter 4 à ce produit :
(x + 4 ) ( x + 4
Ecrire le résultat :
(x + 4 ) ( x + 4
Développer l'écriture obtenue
(x + 4 ) ( x + 4 = x² + 4 x + 4
2. a. Factorise x² + 4x + 4
x² + 4 x + 4 = x² + 2(2( x + 2² on reconnait l'écriture
développée de la 1er identité remarquable
x² + 4 x + 4 = (x + 2)2
b. Factorise (x + 2)2 ( 1
(x + 2)2 ( 1 = [(x + 2) - 1 ][ ( x + 2) + 1 ] on reconnaît
l'écriture développée de la 3ième identité remarquable
(x + 2)2 ( 1 = (x + 2 - 1)( x + 2 + 1 )
(x + 2)2 ( 1 = (x + 1) ( x + 3) c. Résoudre l'équation (x + 1) (x + 3) = 0
c'est un équation du second degré
(x + 1) (x + 3) = 0
Si un produit de facteurs est nul alors au moins un des facteurs
est nul et réciproquement , d'où :
x + 1 = 0 ou x + 3 = 0
x = ( 1 ou x = ( 3
Conclusion :
( 1 et ( 3 sont les seules solutions de l'équation (x + 1) (x + 3) =
0 3. . Quels nombres peut-on choisir au départ pour obtenir 1 comme
résultat du programme.
le programme de calcul est : (x + 4 ) ( x + 4
il faut que ce programme donne 1 comme résultat , d'où
l'équation
(x + 4 ) ( x + 4 = 1
x² + 4 x + 4 = 1 car
(x + 4 ) ( x + 4 = x² + 4 x + 4
(x + 2)2 = 1 car
x² + 4 x + 4 = (x + 2)2
(x + 2)2 (1 = 1 ( 1
(x + 2)2 (1 = 0
(x + 1) ( x + 3) = 0 car
(x + 2)2 (1 = (x + 1) ( x + 3 )
Nous avons trouvé les solutions de cette équation dans la
question précédente ( 2. c )
Conclusion :
le programme de calcul donnera comme résultat 1 si nous
choisissons comme nombre de départ
( 1 ou ( 3 Exercice 2 : simplifier
A = [pic] B = [pic] C = [pic]
A = [pic] B = [pic] C = [pic]
A = [pic] B = [pic] C = [pic]
A = [pic] B = [pic] C
= [pic]
A = 4[pic] +4[pic]( 10[pic] (6 B =
7 C = 13 ( 6[pic]
A = ( 2[pic] ( 6
Exercice 3 :
1. Prouvons que les nombres 682 et 496 ne sont pas premiers entre eux .
682 est un nombre pair donc divisible par 2
496 est aussi un nombre pair donc divisible par 2
conclusion :
Les nombres 682 et 496 ont au moins 2 comme diviseur commun donc ces deux
nombres ne sont pas premiers entre eux. 2. Calculons le P.G.C.D. des nombres 682 et 496 par l'algorithme
d'Euclide
682 = 496 ( 1 + 186 et 186 < 496
496 = 186 ( 2 + 124 et 124 < 186
186 = 124 ( 1 + 62 et 62 < 124
124 = 62 ( 2 + 0
Conclusion
P.G.C.D.( 682 ;496) = 62
3. Simplifions la fraction [pic] pour la rendre irréductible.
Pour rendre une fraction irréductible , il faut la simplifier par le
P.G.C.D. de son numérateur et de son dénominateur, or
P.G.C.D.(682 ;496) = 62
simplifions cette fraction par 62
[pic] et [pic] est donc une fraction irrédutible.
Exercice 4 :
1. Résolvons l'inéquation 2,5x - 75 > 76
2,5x ( 75 + 75 > 76 +75
2,5x > 151
[pic] > [pic]
x > 60,4
[pic] 2. vente des glaces
Soit x le nombre de glaces vendues
Dépense : 75E par semaine et pour faire 150 glaces
Recettes : prix de vente d'une glace ( nombre de glaces vendues
2,5 ( x
Bénéfice > 76 ce qui donne l'inéquation, or bénéfice = recettes (
dépense
2,5 ( x ( 75
> 76
nous avons résolu cette inéquation à la question précédente ( x > 60,4 )
Conclusion :
le marchand de glaces doit vendre au minimum 61 glaces pour réaliser un
bénéfice supérieur à 76E ACTIVITES GEOMETRIQUES ( sur 12 points ) Exercice 1 : 1. Construction
a . Traçons le cercle ( C ) de diamètre [OS] tel que OS =
6 cm
b. Plaçons le point R du cercle ( C ) tel que OR = 3,6 cm
c. Plaçons le point M de la demi-droite [SO) tel que OM = 9 cm
d. Plaçons enfin le point N de la demi-droite [RO) tel que ON =
5,4 cm 2 . Calculs et démonstrations
1 . a. Nature du triangle ORS .
On sait que (C ) est un cercle de diamètre [OS] et que
R ( (C )
Or, si un triangle a pour sommets les extrémités d'un
diamètre et un point du cercle
alors c'est un triangle rectangle en ce point
donc le triangle ROS est un triangle rectangle en R b. Calcule la longueur du côté RS
Dans le triangle ROS rectangle en R, utilisons le
théorème de Pythagore
OS² = OR² + RS²
6² = 3,6² + RS²
36 = 12,96 + RS²
RS² = 36 ( 12,96
RS² = 23,04; RS = [pic] ;
2 a. Position des droites (MN) et (RS).
On sait que OR = 3,6 cm; OS = 6 cm; ON = 5,4 cm et
OM = 9 cm
Dans les triangles ORS
et ONM
Calcul de [pic]
calcul de [pic]
[pic] = [pic]
[pic] = [pic]
conclusion
Comme [pic] = [pic] = [pic] et que les points O, R ,
N et O, S, M sont alignés dans le même ordre,
alors , d'après la réciproque du théorème de Thalès
les droites (MN) et (RS) sont parallèles
b. En déduire le calcul de la longueur du segment
[MN].
Pour calculer MN, sachant que les points O, R , N et
O, S, M sont alignés dans le même ordre,
et que les droites (MN) et (RS) sont parallèles, on
utilise le théorème de Thalès dans les triangles
ORS et ONM
[pic] = [pic] = [pic] = [pic] ; d'où [pic] =
[pic] ou encore [pic] = [pic]
On en déduit : MN = [pic] = 7,2 cm 3. a. Nature du quadrilatère RSNM
On sait que (MN) est parallèle à (RS)
Or si un quadrilatère a deux côtés parallèles alors
c'est un trapèze
donc RSNM est un trapèze b. Prouvons que les droites (MN) et (RN) sont
perpendiculaires
On sait que : (MN) // (RS) et que ( RN ) ( (RS)
Or si deux droites sont parallèles alors toute
perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre
Donc (RN ) ( (MN) c. Calcule l'aire de ce quadrilatère RSNM.
on sait que l'aire d'un trapèze est donnée par la
formule : [pic]
adaptons cette formule
A(RSNM) = [pic] avec RS = 4,8 cm ; MN = 7,2 cm ; RN =
RO + ON = 3,6 + 5,4 = 9cm
A(RSNM) = [pic]cm²
Exercice 2 :
1 . Calcul de la mesure de l'angle B arrondie à un degré près
pour calculer l'angle B , j'utilise la tangente de l'angle B dans le
triangle ABC rectangle en A où on donne AC = 30 mm et AB = 40 mm
tan B = [pic] ; tan B = [pic] ; B = tan-1[pic] ; B ( 37° 2. Calcule la longueur du segment EB arrondie au millimètre près
Pour calculer EB, travaillons dans le triangle EDB rectangle en D où on
sait que B ( 37° et DB = 24 mm
j'utilise le cosinus de l'angle B
cos B = [pic] ; cos 37° = [pic] ; EB = [pic] ; EB ( 30 mm 3. Calcule la longueur du segment FD arrondie à 10-1 près
Pour calculer FD, travaillons dans le triangle DFB rectangle en F, sachant
que BD = 24 mm et B ( 37°
utilisation du sinus de l'angle B
sin B = [pic] ; sin 37° = [pic] ; FD = 24 ( sin 37° ; FD ( 14,4 mm
PROBLEME ( sur 12 points )
Première partie
Un club multi-sports propose à sa clientèle trois formules :
. FORFAIT PLUS : adhésion de 400 euros pour un accès illimité à toutes
les activités ;
. FORFAIT SIMPLE : adhésion de 150 euros avec une participation de 5
euros par séances ;
. FORFAIT FORME : 10 euros par séances. 1. a. complétons le tableau suivant sachant que Péguy souhaite suivre
deux séances par semaine pendant toute l'année et que Steve souhaite
suivre une séance par mois pendant toute l'année. | | Steve | |
| | |Péguy |
|Nombre de séances pour l'année | 1 ( 12 = 12 | 2 ( 52 = 104|
|Montant à payer FORFAIT PLUS | 400 | 400 |
|Montant à payer FORFAIT SIMPLE |5 ( 12 + 150 = 210 | 5 ( 104 + 150 = |
| | |670 |
|Montant à payer FORFAIT FORME | 10 ( 12 = 120 | 10 ( 104 =|
| | |1040 | b. formule la plus avantageuse pour cha