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CHAPITRE VI
Methodes energetiques
I. Généralités : principes fondamentaux
I.1. Champ de contrainte statiquement admissible [pic] et champ de
déplacement
cinématiquement admissible [pic]
II. Principe des travaux virtuels
II.1. Equation des travaux virtuels
II.2. Principe des travaux virtuels des déplacements
II.2.1. Enoncé du principe
II.2.2. Application du principe des travaux virtuels des
déplacements
II.2.3. Exemple d'application
II.3.2. Application du principe des travaux virtuels des
contraintes
II.3.3. Exemple d'application
III. Principes variationnels
III.1. Enérgie totale et énergie complémentaire totale
III.2. Principes de minimum
III.3. Mesure de l'erreur
III.3.1. Energie totale et énergie complémentaire totale
III.3.2. Encadrement de la solution
IV. Exercices résolus
I. generalites : principes fondamentaux



On considère dans la suite exclusivement des déformations
infinitésimales. Aucune non-linéarité géométrique ne se produit dans le
processus de déformation. On considère des chargements quasi-statiques
(sans effets d'inertie).




I.1. Champ de contraintes statiquement admissibles [pic] et champ de
déplacements cinématiquement admissibles [pic]



On appelle champ de contraintes statiquement admissibles (S.A.) tout
champ de contraintes [pic] (Figure 1) qui satisfait l'équation d'équilibre
interne et la condition d'équilibre de surface. On appelle champ de
déplacements cinématiquement admissible (C.A.), tout champ de déplacements
[pic] (Figure 1) qui satisfait les conditions de bord et qui est dérivable
au moins une fois permettant la définition du champ de déformation [pic].




[pic] [pic] (1)








Figure 1 . Solide ? chargé par une distribution de forces [pic] sur [pic]
et soumis à des conditions aux limites en déplacement [pic] sur [pic] en
équilibre






II. Principe des travaux virtuels






II.1. Equation des travaux virtuels



Le travail de tout champ de contraintes statiquement admissible [pic]
sur tout champ de déformations cinématiquement admissibles [pic] est égal
aux travail des forces imposées [pic] associées aux déplacements
cinématiquement admissibles [pic] et aux forces de volume [pic]. Les
contraintes statiquement admissibles [pic] et les déformations
cinématiquement admissibles [pic] ne sont pas associées par la loi de
Hooke.






[pic] (2)









II.2. Principe des travaux virtuels des déplacements




| | |
|- a - |- b - |


Figure 2 . Solide ? chargé par une distribution de forces [pic] sur [pic]
et soumis à des conditions aux limites en déplacement [pic] sur [pic] et
soumis à une variation cinématiquement admissible [pic] des déplacements
(b).


II.2.1. Enoncé du principe
Soient [pic], [pic] et [pic] l'état courant existant dans un solide
soumis à des sollicitations [pic] sur S? et [pic] sur SU. Soit [pic] une
perturbation cinématiquement admissible de [pic] autour de l'état actuel
(Figure 2). [pic] est continu et dérivable au moins une fois dans ? et
[pic] sur SU.


[pic] (3)






II.2.2. Application du principe des travaux virtuels des déplacements
On suppose que le champ des déplacements [pic] peut se mettre sous la
forme [pic]. [pic]sont des amplitudes inconnues et [pic] sont des champs de
déplacements cinématiquement admissibles. C'est-à-dire, chaque [pic] est
continu, dérivable sur ? et vérifie les conditions aux limites. Les
amplitudes [pic] peuvent donc varier indépendemment l'une de l'autre. Le
champ des déformations est une superposition linéaire des champs de
déformations élémentaires [pic] associés à chaque mode de déplacement
[pic].


[pic][pic]



Les contraintes s'obtiennent par la loi de comportement du matériau à
partir des déformations. Pour un matériau élastique linéaire isotrope, on a
par exemple :


[pic]



Ainsi le premier terme de l'équation (3) s'écrit
[pic]



Le terme de surface et le terme du aux forces de volume se transforment
comme suit

[pic]



En effet, le chargement en surface et les forces de volume sont
indépendants du champ de déplacements choisi. L'équation (3) conduit, donc
au système d'équations suivant :


[pic] (4)






L'équation précédente permet de déterminer les amplitudes ak. Le fait
que les amplitudes ak satisfassent le système (4), revient à satisfaire
l'équation (3) pour un champ de déplacements particulier. Si le
développement du champ de vitesse comporte une infinité de termes ([pic])
et que l'espace des [pic] constitue un espace fonctionnel complet,
l'équation (4) est équivalente à l'équation (3). La satisfaction de
l'équation (4) est donc équivalente à la satisfaction des équations
d'équilibre. Or, en pratique, les champs de déplacements approchés ne
comportent pas une infinité de termes. Donc l'équation (3) sera satisfaite
seulement pour des champ [pic] particuliers. Intuitivement, on conçoit que
si le nombre de champs [pic] augmente, la qualité de la solution
s'améliore. Dans le paragraphe III, nous établirons un critère pour
comparer des solutions entre elles.






II.2.3. Exemple d'application
Considérons une barre encastrée soumise à des sollicitations en
cisaillement sur deux faces (figure 3). On néglige la gravité et les forces
de volume [pic] sont nulles. On se propose de déterminer le champ de
déplacement dans la barre.


| |Nous essayons deux champs de |
|Figure 3 . barre encastrée |déplacements. Le premier champ de |
|soumise à du cisaillement sur |déplacement [pic] s'écrit : |
|deux faces. | |
| |[pic]. |
| | |
| |Où a est l'amplitude inconnue à |
| |déterminer. Seule la contrainte |
| |[pic]est non nulle. Ainsi le membre|
| |de gauche de l'équation (3) prend |
| |la forme : |
| | |
| |[pic] |

Le terme de surface s'écrit :

[pic]

Pour le premier champ de déplacement, l'équation (3) conduit donc à
l'égalité suivante



[pic] soit [pic]



Le champ de déplacement [pic] et la contrainte [pic]correspodnante
s'écrivent :

[pic][pic]



Le champ de déplacement [pic] est bien cinématiquement admissible, puisque
continu, dérivable et nulle en x=0. La contrainte [pic] correspondante est
constante.
Le deuxième champ de déplacement [pic] dépend de 3 paramètres.

[pic]



Les champs de déplacements élémentaires [pic] sont donc ici donnés par
[pic], [pic] et [pic] respectivement. Le calcul des amplitudes est
similaire au cas précédent. Le détail est donné dans les exercices résolus.
Les amplitudes valent :

[pic]



| | |
|- a - |- b - |


Figure 4. Champs solutions de la barre encastrée : (a) champ de
déplacement, (b) champ de contrainte.



Les champs correspondants s'écrivent :

[pic] et [pic]
Les déplacement [pic]et [pic]sont représentés sur la figure 4a. Le premier
champ est linéaire et le deuxième quadratique en x. Les deux champs sont
continus, dérivables et satisfont la condition aux limite [pic]. Les champs
de contraintes [pic] et [pic] sont représentés sur la figure 4b. Le premier
champ est constant et le deuxième varie linéairement en fonction de x.

II.3. Principe des travaux virtuels des contraintes



II.3.1. Enoncé du principe
Soient [pic], [pic] et [pic] l'état courant existant dans un solide
soumis à des sollicitations [pic] sur S? et [pic] sur SU. Soit [pic] une
perturbation statiquement admissible de [pic] autour de l'état actuel.
[pic] est continu et dérivable au moins une fois dans ? et vérifie les
équations d'équilibre. Pour un chargement des forces de volume nulles :


[pic][pic] sur SU.




[pic] (5)





II.3.2. Application du principe des travaux virtuels des contraintes
On suppose que le champ des contraintes [pic] peut se mettre sous la
forme [pic]. [pic]sont des amplitudes inconnues et [pic] sont des champs de
contraintes statiquement admissibles. C'est-à-dire, [pic] sur ? et [pic]
vérifie les conditions aux limites sur S?. Les amplitudes [pic] peuvent
donc varier indépendemment l'une de l'autre. Le champ des déformations est
une superposition linéaire des champs de déformations élémentaires [pic]
associés à chaque mode de contrainte [pic]. La suite est similaire à
l'application du principe des travaux virtuels des déplacements.


II.3.3. Exemple d'application
Considérons la barre encastrée de la figure 3 soumise à des
sollicitations en cisaillement sur deux faces. On néglige la gravité et les
force