Oscillateur harmonique - PCSI-PSI AUX ULIS

TD M4 : Oscillateur harmonique
But du chapitre Etudier le modèle de l'oscillateur harmonique.
Plan prévisionnel du chapitre M4 : Oscillateur harmonique
I / Qu'est ce qu'un oscillateur harmonique ?
1°) Exemples
2°) Le modèle de l'oscillateur harmonique
3°) Etude énergétique
II / Oscillateur harmonique amorti (régime libre)
1°) Oscillateur harmonique amorti par frottement fluide
2°) Etude énergétique - Facteur de qualité
III / Portrait de phase
1°) Introduction
2°) Propriétés des portraits de phase
3°) Exemple de l'oscillateur harmonique non amorti
Savoirs et savoir-faire Ce qu'il faut savoir :
. Définir un oscillateur harmonique à partir de l'équation
différentielle de son mouvement, donner la forme de la solution.
. Définir le portrait de phase. Exemples de l'oscillateur harmonique et
de l'oscillateur amorti.
Ce qu'il faut savoir faire :
. Traiter le cas du système solide-ressort non-amorti.
. Traiter le cas du pendule simple pour de petites oscillations en
utilisant le principe fondamental de la dynamique ou une approche
énergétique.
. Exemple du système solide-ressort amorti par une force de frottement
fluide : établir l'équation différentielle puis définir la pulsation
propre et le facteur de qualité. À partir de l'équation différentielle
de l'oscillateur amorti, poser l'équation caractéristique puis
déterminer les 3 formes possibles des solutions ainsi que leurs
représentations graphiques. Erreurs à éviter/ conseils : . II faut faire très attention à l'expression de l'allongement du
ressort, pour l'expression de la tension et de l'énergie potentielle
élastique : ne pas écrire aveuglément [pic], ou [pic]! L'expression
exacte dépend des notations employées dans chaque cas.
. Si on ne choisit pas comme variable l'écart à la position d'équilibre,
il restera toujours des constantes non nulles dans l'équation
différentielle. On peut les laisser s'il s'agit d'un oscillateur libre
(ce qui donne une équation différentielle avec second membre
constant), mais dans le cas d'un oscillateur forcé (chapitre suivant)
il faudra obligatoirement changer de variable (sinon il y aurait au
second membre une constante et un terme sinusoïdal).
. Dans la résolution d'une équation différentielle avec second membre,
ne jamais appliquer les conditions initiales à la seule solution de
l'équation différentielle sans second membre ! Il faut d'abord écrire
la solution complète, puis utiliser les CI pour trouver les constantes
d'intégration. Savez-vous votre cours ? Lorsque vous avez étudié votre cours, vous devez pouvoir répondre
rapidement aux questions suivantes :
Une masse m au point M se déplace sur une droite horizontale et sa position
d'équilibre est x = 0 ; elle est soumise de la part d'un ressort à une
force de rappel proportionnelle à l'élongation [pic] (k > 0, la raideur du
ressort) et éventuellement de la part d'un dispositif d'amortissement à une
force de frottement fluide opposée à la vitesse [pic] (? > 0, le
coefficient de frottement du dispositif).
. Écrire l'équation d'évolution du système ; comment varie au cours du
temps son
énergie mécanique? Quel est l'équivalent électrique pour le
dipôle RLC des
grandeurs mécaniques suivantes : m, k, ?, x(t) et v(t) ?
. Dans le cas particulier de l'oscillateur non amorti (? = 0), comment
s'écrit la solution
de l'équation différentielle du mouvement ? Et quelle est alors
l'expression de
l'énergie mécanique de l'oscillateur ? Commenter.
. Pour l'oscillateur amorti, donner pour chacun des trois régimes
(à définir et
caractériser) la solution x(t) avec les conditions initiales suivantes
: x(t = 0) = x0 > 0
et v(t = 0) = 0 (on lâche la masse avec une vitesse initiale nulle
hors de la position
d'équilibre). Tracer et commenter les graphes x(t). Représenter
également le portrait
de phase [pic](x) et commenter.
. Dans le cas du régime pseudopériodique, définir le décrément
logarithmique ? et
comparer la pseudo-période T à la période propre T0 ; quelle relation
lie ces trois
grandeurs ?
Applications du cours
Application 1 : Oscillateur élastique horizontal non amorti
On considère un point matériel M de masse m fixée à l'extrémité d'un
ressort (constante de raideur k, longueur au repos l0) ; le point matériel
est astreint à se déplacer sans frottement le long de l'axe horizontal O'x,
O' étant l'autre extrémité fixe du ressort. 1°) Exprimer l'énergie potentielle du point matériel en fonction de x.
Tracer l'évolution de l'énergie potentielle de pesanteur en fonction de x.
Expliquer pourquoi la position x = 0 correspond à une position d'équilibre
stable.
2°) Exprimer l'énergie mécanique du point matériel en fonction de m, k, x
et [pic].
3°) Pourquoi peut-on dire que l'énergie mécanique du point matériel se
conserve ? Exprimer l'énergie mécanique du point matériel en fonction de k,
x0, v0 et ?0 puis en fonction de m, x0, v0 et ?0
4°) Retrouver l'équation différentielle du DM 8 à partir de l'expression de
l'énergie mécanique. Application 2 : Qui est qui ?
On étudie un oscillateur amorti (cas présenté dans le DM 8) en régime
apériodique. On a pour plusieurs valeurs du coefficient d'amortissement (ou
du facteur de qualité), tracé l'évolution de x en fonction du temps. . Identifier les courbes qui correspondent au coefficient
d'amortissement le plus important et celle qui correspond au
coefficient d'amortissement le plus faible. Préciser comment évolue le
temps d'évolution caractéristique du régime apériodique quand le
coefficient d'amortissement augmente.
. Identifier les courbes qui correspondent au facteur de qualité le plus
important et celle qui correspond au facteur de qualité le plus
faible. Préciser comment évolue le temps d'évolution caractéristique
du régime apériodique quand le facteur de qualité augmente. Application 3 : Analogie électromécanique
En comparant l'étude du circuit RLC série réalisée dans le chapitre E3 et
l'étude réalisée sur l'oscillateur amorti, compléter le tableau suivant.
| |Electricité |Mécanique |
|Equation |[pic] |[pic] |
|différentielle | | |
|Variable étudiée |u |x |
|Dérivée de la | |[pic] |
|variable étudiée | | |
|Paramètres de |R |? |
|l'oscillateur | | |
| |L | |
| |C | |
|Pulsation propre |[pic] | |
|Période propre | |[pic] |
|Facteur de qualité | | |
|Energie de | | |
|l'oscillateur | | |
Application 3 : Qui est qui ?
Les 6 trajectoires suivantes dans le plan de phase où seul le facteur de
qualité varie. Il vaut : 0,1 ; 0,2 ; 0,5 ; 1 ; 5 ; 50. Qui est qui ?
[pic]
[pic] [pic]
Application 4 : Portrait de phase d'un système conservatif
Un wagonnet de masse m assimilé à un point matériel M est astreint à
glisser sans frottement entre deux glissières circulaires voisines de
centre O et de rayon moyen r. Le mouvement du point M a lieu dans le plan
(Oxy). Dans toute l'application on néglige les frottements liés au
déplacement du wagonnet dans l'air. 1°) L'énergie potentielle du point wagonnet est supposée nulle au point A.
exprimer l'énergie potentielle de pesanteur du wagonnet en fonction de ?.
Représenter l'évolution de l'énergie potentielle de pesanteur en fonction
de ?. Déterminer les valeurs de ? qui correspondent à des positions
d'équilibre stables ou instables.
2°) On suppose que le wagonnet est lancé du point A (xA = r et yA = 0) avec
une vitesse initiale [pic] à l'instant t = 0.
. Exprimer la vitesse du point M à l'instant t en fonction de r et de
[pic].
. Exprimer l'énergie mécanique du wagonnet en fonction de ? et de [pic].
. Pourquoi l'énergie mécanique du wagonnet se conserve-t-elle ?
. Montrer que la conservation de l'énergie mécanique permet d'écrire
[pic] et exprimer ?0 en fonction de g et r.
. Dans le domaine 0 < ? < ?, comment évolue [pic] lorsque ? augmente.
Exprimer la valeur minimale de [pic] en fonction de ?0 et [pic].
. Expliquer pourquoi le wagonnet est soit animé d'un mouvement
oscillatoire périodique, soit animé d'un mouvement révolutif. Associer
chacun des mouvements possibles à la condition qui lui correspond
[pic] ou [pic]. Expliquer votre choix.
. Dans le cas du mouvement oscillant périodique, déterminer l'amplitude
angulaire des oscillations.
3°) On dispose du portrait de phase suivant : On a représenté sept trajectoires de phase différentes numérotées de C1 à
C7 qui correspondent chacune à une valeur de l'énergie mécanique.
. Identifier les trajectoi