I - Td corrigé

I. Transformation de Laplace 6
A. Définition 6
B. Transformée de fonctions élémentaires 6
1. Fonction échelon unité (fonction d'Heaviside) U(t) 6
2. Fonction impulsion unité (Distribution de Dirac) 7
3. Fonction puissance 7
4. Fonction exponentielle 8
5. Propriétés 8
6. Transformée de la dérivée 10
7. Transformée de la primitive 11
C. Produit de convolution 11
1. Définition 11
2. Théorème 11
3. Application de la transformation de Laplace aux systèmes
différentiels 12
D. Applications 13
1. Exercice n°1 13
2. Exercice n°2 13
3. Exercice n°3 14
4. Exercice n°4 14
5. Exercice n°5 15
E. Formulaire 16

II. Transformation de Fourier 18

A. Généralités 18
1. Définition 18
2. Théorèmes d'inversion 18
B. Propriétés 19
1. Linéarité 19
2. Fonctions conjuguées - transformation affine 19
3. Dérivation et Intégration 19
C. Convolution 20
D. Exemples 20
1. Transformée d'une fréquence unique 20
2. Transformée d'une fonction paire: le cosinus 21
3. Transformée d'une fonction impaire: le sinus 21
4. Transformée d'une fonction constante 22
5. Transformé d'une fonction porte 22
6. Relation entre largeur temporelle d'une fonction et largeur de son
spectre 23
7. Transformée d'une fonction tronquée (transformée fenêtrée) 24
8. Transformée d'un peigne de Dirac 24
9. Calcul de la Transformée de Fourier 26
10. Cas de la Transformée de Fourier en deux dimensions 26
E. Cas des fonctions périodiques 26
1. Définition d'une série trigonométrique 26
2. Calcul des coefficients de Fourier 27
3. Conclusion fondamentale 28
4. Cas d'une fonction de t, périodique de période T: 28
5. Remarques 30
F. Corollaires 31
1. Egalité de Parceval 31
2. Largeur des paquets d'énergie 31
G. Applications 32
1. Exercice n°1 32
2. Exercice n°2 32
3. Exercice n°3 32
4. Exercice n°4 32

III. Résolution d'équations algébriques 34

A. Les objectifs 34
B. Analyse mathématique 35
C. Les méthodes itératives 36
1. Méthodes du 1er ordre 36
2. Méthode de Newton (2ème ordre) 37
3. Autres méthodes 37
D. Remarques sur la méthode de Newton 39
1. Initialisation 39
2. Annulation de la dérivée 40
3. Calcul de la dérivée 40
4. Tests d'arrêt 40

IV. Résolution de systèmes d'équations 42

A. Rappels d'algèbre linéaire 42
1. Calcul matriciel (rappels) 42
2. Diagonalisation 42
3. Algorithmes 44
B. Méthodes directes pour la résolution de systèmes linéaires 44
1. Méthodes classiques 44
2. Inversion de matrice 48
C. Méthodes itératives pour les systèmes d'équations 50
1. Systèmes linéaires 50
2. Systèmes non-linéaires 52
3. Newton-Raphson 53
D. Applications 54
1. Exercice 1 54
2. Exercice 2 55

V. Initiation à Matlab 57

A. Eléments de base 57
1. Qu'est-ce que Matlab ? 57
2. Documentation - Aide en ligne 57
B. Informations traitées 59
1. Les types de données 59
2. Types de base 59
3. Types évolués 60
C. Opérations algébriques 63
1. Fonctions élémentaires, opérations arithmétiques 63
2. Opérations sur les tableaux et matrices carrées 63

VI. Programmation sous Matlab 67

A. Qu'est-ce qu'un programme ? 67
1. Algorithme + langage = programme 67
2. Instructions, variables et types 67
3. Sous-programmes 68
4. Mise en oeuvre d'un programme 68
5. Différentes approches de programmation 69
B. Les instructions essentielles 70
1. Rupture de séquences, arrêt, tests 70
2. Les boucles 71
3. Les fonctions Matlab 72
C. Transmission d'information dans un programme 73
1. Les fichiers 73
2. Visibilité des variables 74
3. La gestion des entrées-sorties 75
D. Quelques algorithmes 76
1. Les tris 76
E. Exercices : Méthodes de résolution 80
1. Systèmes tridiagonaux par blocs 80
2. Newton-Raphson 80

VII. Equations différentielles ordinaires 82

A. Notions de base 82
B. Equations du 1er ordre 82
1. Définitions 82
2. Théorème 83
3. Résolution 83
C. Equations du 2d ordre 84
1. Généralités 84
2. Equations se ramenant au 1er ordre 84
3. Equations linéaires du 2d ordre 85
4. Equation linéaire à coefficients constants 87
D. Intégration par développement en série entière 89

VIII. Intégration numérique 91

A. Problème de conditions initiales 91
1. Méthodes à pas séparés 91
2. Méthodes à pas liés 95
B. Autres types de problèmes 96
1. Problème de conditions limites 96
2. Systèmes différentiels 97

IX. Optimisation 99

A. Programmation linéaire 99
1. Introduction 99
2. Forme canonique d'un programme linéaire 99
3. Forme standard d'un programme linéaire 100
4. Solutions optimales et sommets 102
5. Algorithme primal du simplexe 103
B. Autres méthodes 108
1. Algorithme du gradient conjugué 108
2. Algorithme du gradient réduit 109
C. Eléments de théorie des graphes - Flots dans les réseaux - 110
1. Définitions et propriétés 110
2. Flot dans un réseau 110
3. Le problème du flot maximum dans un réseau de transport 113
4. Algorithme de recherche d'un flot maximum 114
5. Le problème du flot maximum à coût minimum 117






Transformation de Laplace


1 Définition

Soit f une fonction de la variable réelle t, définie sur R et supposée
nulle pour t négatif (fonction causale). On appelle transformée de Laplace
de f, la fonction F définie par:
[pic]
Où p est une variable complexe.
On écrit : F(p) = L [f(t)] ou F(p) [pic] f(t)
f(t) = L-1 [F(p)] ou f(t) [pic] F(p)
La transformée de Laplace d'une fonction n'existe que si l'intégrale est
convergente, pour cela on est amené à imposer à f deux conditions :
. être continue par morceaux sur tout fermé
. être « d'ordre exponentiel à l'infini », c'est à dire qu'il existe M>0 et
? tels que |f(t)|X.
On démontre que si les hypothèses précédentes sont vérifiées, la
transformée de Laplace est définie pour p> ? , ou si p est complexe, pour
Re(p) > ? . Par la suite on considérera en général que Re(p) > 0.

2 Transformée de fonctions élémentaires


1 Fonction échelon unité (fonction d'Heaviside) U(t)

| | |
|[pic] | |


[pic][pic]
Comme Re (p)>0, alors [pic]
Ce qui implique [pic]

2 Fonction impulsion unité (Distribution de Dirac)

| | |
|[pic] | |


Si [pic] tend vers 0, la distribution de Dirac sert à représenter en
physique une action s'exerçant sur un instant très court (impulsion).
[pic][pic][pic][pic]avec Re (p)>0
[pic] [pic] [1]
et finalement : [pic]

Remarque


[pic], on a [pic].


3 Fonction puissance

Soit [pic] ( n [pic]N ).
Calculons donc [pic]
Posons le changement de variables : [pic] [pic]
[pic] [pic]
[pic] (le premier crochet est nul si Re(p)>0 )
D'où : [pic]. Sachant que [pic] , on en déduit que :
[pic] ( n [pic]N)

4 Fonction exponentielle

Soit [pic]
[pic]
Si Re(p + a) > 0 alors, [pic]
d'où [pic]

5 Propriétés


1 Linéarité

[pic]et[pic] complexes, L[f(t)] = F(p) et L[g(t)] = G(p)
L[?.f(t) + ?.g(t)] = ?.F(p) + ?.G(p)

Exemple : Transformée de Laplace des fonctions circulaires


[pic]


d'où : [pic]


De même pour [pic]:[pic]


2 Règle de similitude (Changement d'échelle)

Soit g(t) = f(a.t) ( a>0 )
[pic]
On pose alors le changement de variables : [pic] [pic]
[pic]
ce qui permet d'établir : [pic]

3 Règle de translation en p

[pic]
d'où :[pic]

4 Règle de translation en t

Soit [pic]
On pose u = t - t0 et du = dt
[pic]
ce qui permet d'établir : [pic] où [pic]est le facteur retard
Exemple

| | |
|Image d'un créneau entre 0 et t0 : | |
|f(t) = f1(t) + f2(t) = U(t) - U(t -| |
|t 0) | |


Il en résulte que : [pic]
D'où : [pic]

Application : Transformée d'une fonction périodique


Soit f une fonction bornée sur l'intervalle [pic] et nulle sur
[pic]. Sa transformée de Laplace est notée [pic].


Définissons maintenant la fonction périodique g telle que :


[pic]


Autrement dit : [pic][2]


En appliquant la linéarité et le théorème du retard, on en déduit
la transformée de Laplace [pic] de g :


[pic][pic][pic]


soit finalement : [pic]


6 Transformée de la dérivée


1 Théorème fondamental

Si f' est continue par morceaux sur tout fermé [0; x0] et si [pic]alors :
[pic][pic]
En effet, en intégrant par parties, on obtient:
[pic]
[pic]
f(0+) représentant la limite à droite de f(t) quand t tend vers 0, d'où le
théorème.

2 Généralisation

Si f'' vérifie à son tour les hypothèses du théorème, on a:
[pic][pic]
Cette propriété, qui fait la richesse de la transformée de Laplace sera
largement utilisée dans les équations différentielles.

3 Remarques importantes

Théorème de la valeur initiale: [pic]
Théor