1. La représentation

Représentation d'état des Systèmes Discrets et Echantillonnés

C'est une représentation temporelle, alternative à la représentation
fréquencielle de la fonction de transfert en z.
Il s'agit une équation aux différences d'ordre un et matricielle.

La représentation


Définition

Soient [pic] le vecteur de commande
[pic] le vecteur des observations
[pic] le vecteur d'état,
La représentation d'état d'un système discret prend la forme :
[pic]

. n est l'ordre du système
. en général, D = 0, on a un système « propre »
. si B = 0, système homogène, sans second membre
. A, matrice d'état, C matrice d'observation, B de commande

L'asservissement du système s'exprimera sous la forme suivante du retour
d'état où K est une matrice de gains :
[pic]ou encore [pic]



Passage de l'EaD à la représentation d'état :

1/ Forme de commande :

Premier exemple : le second membre est «simple»

[pic] ou [pic]
On pose : [pic]
On a : [pic]
Soit, [pic]

Second exemple : le second membre est « complexe »
[pic]
soit [pic] avec
[pic]et[pic], d'où l'on tire la représentation suivante (avec un vecteur
d'état[pic]différent) :
[pic][pic]
Exercice 1 : Etablir la forme de commande
du processus de fonction de transfert :[pic]




2/ Forme découplée (ou modale):
Pour obtenir une matrice d'état diagonale, on peut procéder en décomposant
en éléments simples (si les pôles sont réels).
Exemple :[pic]
[pic]
En identifiant, il vient : [pic]et [pic] ou les équations aux
différences : [pic]
Représentation matricielle : [pic]


Passage à la fonction de transfert en z

[pic] [pic] [pic]
soit [pic](avec I matrice identité) et [pic], d'où l'on tire:
[pic], matrice de transfert en z en général, et fonction de transfert en
z si scalaire.


Régime statique : [pic], matrice gain statique .

Exercice 2 : Retrouver la fonction de transfert du
processus de l'exercice précédent :








« Discrétisation » d'un processus continu :

On a vu cette opération avec la fonction de transfert en z. Soit un
processus continu donné par la représentation d'état
[pic](Equ. Etat), [pic](Equ. observation)
et commandé par un BOZ, c'est à dire [pic] entre les instants [pic] et
[pic] avec la condition initiale [pic]. On intègre cette équation pour
[pic].
En utilisant la solution générale de l'équation d'état, il vient :
[pic],
d'où en [pic]: [pic]On aboutit donc à une représentation d'état discrète,
avec les matrices d'état[pic]et de commande: [pic].
Remarque : si A est inversible, c'est [pic].

Exercice 3 : pour Discrétiser le processus suivant
[pic], avec [pic].
On commencera par donner une représentation d'état, sous forme de commande,
d'où la réalisation [pic] associée. On calculera ensuite [pic]par exemple
en faisant [pic], d'où [pic]et également[pic] (voir solution en annexe du
TD).


Analyse des équations d'état

On considérera le processus discret suivant comme exemple :
[pic]
1) Polynôme caractéristique :
[pic],
Pour l'exemple, [pic]. Les [pic]sont donc liés aux valeurs propres du
processus discret, solutions de[pic].
2) Equation caractéristique :
[pic] Les solutions sont les n valeurs propres [pic], pôles de la fonction
de transfert (exemple 2 racines : [pic]et[pic])
Stabilité EBSB : valeurs propres de module strictement inférieur à 1 (dans
le cercle trigonométrique).
3) Représentation modale (découplée), dans le cas plus simple de
[pic]valeurs propres réelles distinctes :
Pour l'obtenir par changement de base dans l'espace d'état, il faut
calculer une base de vecteurs propres :
. Comme pour le cas continu, [pic]vecteur propre associé à la valeur
propre [pic]s'obtient à partir de la matrice adjointe : [pic].
. Matrice modale (changement de base): [pic].
On a [pic] et donc[pic].
La représentation d'état dans la nouvelle base devient :
[pic], avec
. [pic], est une matrice diagonale constituée des valeurs propres de
A
. [pic] ne doit pas avoir de ligne nulle pour que le système soit
entièrement gouvernable (**)
. [pic]ne doit pas avoir de colonne nulle pour que le système soit
entièrement observable (**)
** cf. plus loin pour les définitions de la gouvernabilité (ou
commandabilité) et de l'observabilité.


Exercice 4 : appliquer à l'exemple















4) Théorème de Cayley Hamilton :
La matrice d'état vérifie elle-même l'équation caractéristique, soit
[pic]ou encore [pic]est une combinaison linéaire des [pic], [pic]

Ce théorème permet de calculer les fonctions de [pic] telles que [pic] ou
[pic] à l'aide des valeurs propres de A selon la technique dûe à Silvester
. Pour[pic], on sait que les n valeurs propres de A soient [pic] vérifient
:
[pic]
On peut alors calculer les [pic]à l'aide de ce système d'équations, puis en
tirer [pic] à l'aide des [pic].
Exercice 5 : Appliquer la technique de Silvester
. [pic] calcul de [pic], [pic]
. ou [pic], calcul de [pic]









5) Solution de l'équation d'état discrète :
[pic] avec [pic]conditions initiales

La solution de l'équation d'état s'obtient par récurrence :
[pic]
soit : [pic].

Le premier terme donne l'effet de la condition initiale [pic], le second
celui de la commande ; le vecteur U regroupe toutes les valeurs de la
commande. Dans le cas où [pic], G devient la matrice de commandabilité ou
de gouvernabilité:
[pic] et [pic]
On justifie ainsi «facilement» pour les systèmes discrets le critère direct
de commandabilité (valable aussi en continu):

Si G est de rang n, [pic]une suite [pic] de n commandes amenant le système
de [pic] quelconque à [pic] quelconque en n périodes d'échantillonnage. Par
définition, le système est alors « entièrement commandable ».

Si de plus G est inversible (donc carrée), on trouve même :
[pic]
Remarque : de manière similaire, il existe un critère direct
d'observabilité :
Soit la matrice d'observabilité [pic]
Si O est de rang n, il est possible de retrouver la valeur du vecteur
d'état [pic]à partir des n observations [pic] en n périodes
d'échantillonnage. Par définition, le système est alors « entièrement
observable ».

Exercice 6 :
Déterminer la séquence de commandes [pic] qui permet d'amener le système
exemple en [pic]de[pic]à [pic].







6) Placement des valeurs propres par retour d'état :
Les valeurs propres d'un système fixent entièrement son comportement
dynamique (ou les pôles de la fonction de transfert selon la
représentation). La technique ci-après est applicable au retour d'état des
systèmes continus, en appliquant la relation de passage [pic].

. On fait [pic] (retour d'état)
. Il en résulte [pic] une nouvelle matrice d'état,
. et[pic] un nouveau polynôme caractéristique.

Question : comment choisir les [pic]de façon à fixer les valeurs propres de
[pic] ?
Réponse : selon le cas, on pourra écrire le polynôme désiré et rechercher
les composantes satisfaisantes de la matrice de gains K, ou utiliser une
méthode telle que celle d'Ackermann .

Exercice 7 : [pic]
est l'EaD d'un processus discret à mettre sous la forme de commande.
Quelles sont les valeurs propres ? Le processus est-il entièrement
commandable ? En utilisant la relation [pic] déterminer les valeurs
propres [pic]et [pic]qui assurent un amortis-sement réduit [pic] et une
pulsation propre [pic] (prendre [pic] ). Calculer le retour d'état qui
impose ces valeurs pro-pres au système bouclé.



























Utilisation de Matlab pour la représen-tation d'état des systèmes
discrets

. Définition (exemple de l'exercice 3)
A=[0,1 ;0,-10] ;
B=[0,200]' ;
C=[1 0] ;
D=0 ;
syscont=ss(A,B,C,D,'InputName','u')
% syscont est un objet doté de propriétés comme la propriété : InputName.
>> get(syscont)
A= ...
B= ...
C= ...
D= ...
StateName= ...
Ts= ...
Td= ...
InputName= ...
OutputName= ...
Lire une propriété :
>> etat = get(syscont,'a')
Ecrire :
>> set(syscont,'Td',1.0)

. Passage à la fonction de transfert
hdep=tf(syscont) ou inversement ss(hdep)

. Discrétisation
Ts=0.02 % 20 ms, 50 Hz
sysdis=c2d(syscont,Ts)
donne la solution de l'exercice 3
[pic], [pic], [pic], [pic].
Sampling time : 0.02
Discrete time system.
On retrouvera
>> ad=get(sysdis,'a'), >> bd=get(sysdis,'b'), >> cd=...

. Valeurs propres, pôles
>> eig(sysdis), ou pzmap(sysdis), ou encore >> damp(sysdis)

. Réponses caractéristiques (tests)
>> step(sysdis/(1+sysdis)) % si fonction de transfert















>> bode(sysdis,hdep) % compare les réponses harmoniques de sysdis et hdep
























. Observabilité, Commandabilité
>> G=ctrb(ad,bd)
>> rank(G)
>> det(G)
>> O=obsv(ad,cd)
>> det(O)

. Stabilité du système bouclé
>> rlocus(sysdis)%étudie le système bouclé à retour unitaire
k*sysdis/(1+k*sysdis)
>> zgrid
>> axis([0 1 0 1])
>> k=rlocfind(sysdis)





















. Placement de pôles par retour d'état
>> p= [0.5 0.3] % vecteur des pôles
>>K = acker(ad,bd,p)
K=[4.8271 0.2311]
>> set (sysdis,'a',ad-bd*K)
>> damp(sysdis) ( 0.5 et 0.3
>> step(sysdis) ...

Exemple 3 : Discrétisation avec la représentation d'état

[pic]
Avec le vecteur d'état [pic], on obtient la forme de commande suivante pour
le processus continu :
[pic], équ. d'état
[pic] équation d'observation
Solution [pic]entre [pic]et [pic] utilisant la transformée de Laplace
[pic], soit [pic]
On note [pic]la transformée inverse [pic] (cf **):
[pic]
= effet de [pic]+ effet de la commande [pic]entre 0 et t
D'où, par identification
[pic] et [pic]
** vérifier que l'exponentielle de m