Equation différentielle d'un circuit RC

Equation différentielle d'un circuit RC
Le circuit RC série de la figure 0.1 est régi par les équations
différentielles :
|[pic] | (0.| |
| |0) |[pic] |

|En posant ? = RC, |[pic] |(0.|
|on a : | |1) |


La tension v(t) aux bornes du condensateur est la somme de la solution
générale v0 de l'équation sans second membre (0.2) et d'une solution
particulière vp de (0.1)
Solution générale de l'équation différentielle sans second membre
L'équation sans second membre correspondant à e(t) = 0 est :
|[pic] |(0.|
| |2) |


sa solution est :
|[pic] |(0.|
| |3) |

Les deux cas d'excitation : constante, sinusoïdale
Le choix d'une solution particulière vp de (0.1) dépend de la forme de
e(t). Examinons les cas d'une excitation courante, de forme simple (Fig.
0.2) :
| |e(t) = E = cte |a/ |(0.4|
| | | |) |
| |e(t) = E sin ?t |b/ | |

|[pic] |[pic] |

Cas d'une excitation constante e(t) = E = cte
C'est le cas où e(t) est délivrée par une pile sèche par exemple. Une
solution particulière est de la même forme que l'excitation, c'est à dire
constante. On a alors :
| |vp = A = E |(0.|
| | |5) |


La solution générale de (0.1) est alors dans ce cas :
| |[pic] |(0.|
| | |6) |


La détermination de la constante d'intégration K dépend de la condition
initiale.
En supposant que le condensateur est initialement chargé sous la tension
V0, on a :
| |v(0) = V0 = K + E |(0.|
| | |7) |


La solution générale est alors :
| |[pic] |(0.|
| | |8) |


Le premier terme de (0.6) décrit le régime transitoire puisque dès que le
temps t dépasse 5? , ne persistera que le second terme constant qui décrit
le régime permanent.
Cas d'une excitation sinusoïdale e(t) = E sin ?t
C'est le cas où e(t) est délivrée par le réseau électrique ou par un
générateur BF (Basses Fréquences) sinusoïdal par exemple. Une solution
particulière est de la même forme que e(t), c'est à dire sinusoïdale. On a
alors :
| |vp = ? sin(?t- ?) = A sin?t + B cos?t |(0.|
| | |9) |


avec:
| | ? 2 = ( A2 + B2 ) | et | tg ? = -|
| | | |B/A |


Afin de déterminer les deux paramètres (A et B ou ? et ?) de vp , exprimons
la dérivée de vp :
| |[pic] |(0.1|
| | |0) |


En portant (0.9) et (0.10) dans (0.1), on a :
| |(A - B ??) sin ?t + (B + A ??) cos ?t = |(0.1|
| |E sin ?t |1) |


Après identification des termes sinus et cosinus, on trouve :
| |[pic] |(0.1|
| | |2) |


La solution générale de (0.1) est alors dans ce cas :
| |[pic] |(0.1|
| | |3) |


En prenant la même condition initiale que dans le cas a/ (à t = 0, v = V0),
la constante d'intégration K est :
| |[pic] |(0.1|
| | |4) |


La solution générale est alors :
| |[pic] |(0.1|
| | |5) |


Comme au cas où l'excitation est constante, le premier terme de (0.11)
décrit le régime transitoire. Seul le deuxième terme représentant le régime
permanent persistera au cours du temps.
Remarques et Commentaires 1
Pour ces deux situations particulières relatives à l'excitation d'un
circuit simple, nous avons utilisé la résolution différentielle.
Ce circuit du premier ordre (régi par une équation différentielle du 1er
ordre) n'a pu être calculé :
que pour une excitation particulière (constante ou sinusoïdale). Pour une
excitation d'une autre forme, la solution analytique est difficile à
établir, voir même impossible,
qu'après des étapes de calcul longues et pénibles (recherche de deux
solutions v0 et VP , identification des constantes A et B, calcul de la
constante d'intégration K en fonction de la valeur initiale V0). Ceci
constitue certainement un environnement propice au risque d'erreurs
Il est à remarquer que l'équation différentielle et sa résolution
analytique n'ont fait l'objet d'aucune approximation et que la solution
calculée est exacte.
Compte tenu de la complexité du calcul d'une part et de la limite pratique
de la méthode de résolution différentielle d'autre part, il est indiqué de
situer d'autres méthodes de calcul utilisant des transformations. La
méthode la plus connue est celle de la "Transformation Complexe".
circuit RL alimenté par une tension alternative
Un circuit RL de résistance 2 ohms et d'inductance L=0,1 H est alimenté
sous une tension alternative de 220 V, 50 Hz par l'intermédiaire d'un
thyristor dont l'amorçage se produit au passage à 0 par valeurs croissantes
de la tension.
Déterminer l'équation différentielle régissant le circuit et la résoudre.
[pic]
corrigé
[pic]
tension sinusoïdale :
Umax =220*1,414 = 311 volts
?= 2? f =2*3,14*50 =314 rad/s
u(t)= 311 sin (314 t).
équation différentielle :
tension aux bornes de la bobine L di /dt = L i' = 0,1 i'
tension aux bornes de la résistance : R i =2 i
L di/dt + Ri = Umax sin (?t) (1)
méthode générale de résolution :
résoudre d'abord l'équation sans second membre
i' + R/L i=0 avec R/L = 20
la constante de temps du circuit est 1/20 = 0,05 s valeur supérieure à la
période 0,02 s
la bobine introduit un retard à l'établissement du courant
solution i(t) = I exp (-20t) +Cte
solution particulière de l'équation (1)
i(t) = I sin (?t + ?)
puis additionner
i(t) = I exp (-20t) + I sin (?t + ?) + Cte
le premier terme s'annule au bout de quelques dixièmes de seconde, il
correspond au régime transitoire
seul le terme en sinus subsiste en régime permanent
[pic]
avec impédance du circuit Z = racine carrée ((L?)² + R²) = 31,46 ohms
amplitude de l'intensité I = U max / Z = 311 / 31,46 = 9,88 A
et tan ? = L? / R = 31,4 / 2 d'où ? = 1,507 rad
dans ce circuit inductif l'intensité est en retard sur la tension de
l'angle ? .
i(t) = 9,88 exp (-20t) + 9,88 sin (314 t - 1,507) .
[pic]