FICHE METHODE :

Comment déterminer la similitude directe définie par la donnée de 2 points
A, B et de leurs images A', B', avec A?B ? Méthode complexe - Choisir un repère orthonormal et préciser les affixes zA, zB, zA', zB'
des points dans ce repère.
- Déterminer l'expression complexe de la similitude S : z ( z ' = az + b,
telle que
A' = S (A), B '= S(B). On est amener à résoudre le système, d'inconnues a
et b :
[pic]
- Déterminer les éléments caractéristiques de S.
- Si a = 1, alors [pic]. S est la translation de vecteur d'affixe b.
- Si a ( 1, alors la transformation est la similitude directe :
de centre ( d'affixe [pic],
de rapport [pic]
et d'angle [pic]. Exemples d'application ABCD est un carré de sens direct et de centre I. K est le milieu de [CD].
Identifier la similitude directe S définie par : S(A) = I et S(C) = K. Réponses non détaillées : - On choisit un repère orthonormal et on donne les affixes des points dans
ce repère. Dans le repère [pic], on a respectivement zA= 0 ; zB = 1 ; zC = 1 + i ; zD
= i ; [pic] et [pic]. - L'écriture complexe de S étant : z' = az +b, on calcule les valeurs de a
et b à partir du système d'équations. On a S(A) = I et S(C) = K c'est-à-dire zI = azA + b et zK = azC + b.
D'où le système :
[pic]
La résolution de ce système donne [pic] et [pic].
Et, l'expression complexe de S est :
[pic].
- Une fois a et b trouvés, on détermine la nature de S, puis ses éléments
caractéristiques. D'où, S est la similitude directe :
- de rapport [pic],
- d'angle [pic]
- et de centre ( d'affixe [pic]. Exercices proposés Exercice 1 (corrigé)
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé [pic], on considère
les points A, B, A' et B' d'affixes :
zA = 2 - i, zB = -1 + 2i, zA' = 1 et zB' = 1 + 6i.
Déterminer le centre, le rapport et l'angle de la similitude directe
transformant A en A' et B en B' Exercice 2 (corrigé)
Dans le plan complexe, on considère les points A, B, A', B' d'affixes
respectives :
z1 = 1 + i ; z2 = 3 + 2i ; z1' = -1 +2i ; z2'
= -3 +6i
Déterminer l'application complexe z' = az+b associée à la transformation
affine qui, au couple (A, B) fait correspondre le couple (A', B'). Quelle
est la nature de cette transformation et quels en sont les éléments? Exercice 3 (corrigé)
ABCD est un carré de sens direct et de centre O. On désigne par I le
milieu de [AB] et par J le milieu de [OB].
Identifier dans chaque cas la similitude directe S définie par :
a) S(A) = O ; S(B) = D
b) S(A) = O ; S(I) = D
c) S(I) = C ; S(O) = D
d) S(I) = J ; S(J) = O Exercice 4 (corrigé)
Soit ABC un triangle isocèle rectangle en A tel que [pic] .
Déterminer le centre, le rapport et l'angle de la similitude directe
transformant A en B et B en C. Exercice 5 (corrigé)
ABCD est un carré direct de centre I. Soit J le milieu du segment [CD].
On désigne par s la similitude directe qui transforme A en I et B en J.
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct [pic] avec
[pic] et [pic] (unité : 3 cm).
1. a) Donner les affixes respectives des points A, B, C, D, I et J.
b) Déterminer l'écriture complexe de la similitude s.
2. a) Déterminer les éléments caractéristiques de s.
b) Calculer l'affixe du point E tel que s(E) = A. Placer le point E sur
la figure. Exercice 6 (corrigé) Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct [pic] l'unité
graphique est 2 cm. On considère les points A, B, C, D et E d'affixes
respectives : a = 2, b = 2+3i, c = 3i ,
[pic], [pic]. 1. Placer ces cinq points sur un graphique que l'on complétera au fur et
à mesure.
2. Démontrer que OABC et ABDE sont deux rectangles et qu'ils sont
semblables.
3. Étude d'une similitude directe transformant OABC en ABDE
a. Déterminer l'écriture complexe de la similitude directe S qui
transforme O en A et A en B.
b. Démontrer que la similitude S transforme OABC en ABDE.
c. Quel est l'angle de la similitude S ?
d. Soit [pic] le centre de cette similitude. En utilisant la composée S o
S, démontrer que le point [pic] appartient aux droites (OB) et (AD). En
déduire la position du point [pic]. Exercice 7 (corrigé)
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct [pic]. L'unité
graphique est 1 cm.
1. On considère les points A et B d'affixes respectives 10 et 5i.
a. Déterminer l'écriture complexe de la similitude directe S qui
transforme O en A et B en O.
b. Déterminer les éléments caractéristiques de S. On note [pic] son
centre.
c. Déterminer le point S o S (B) ; en déduire la position du point [pic]
par rapport aux sommets du triangle ABO.
2. On note D la droite d'équation x - 2y = 0, puis A' et B' les points
d'affixes respectives 8+4i et 2+i.
a. Démontrer que les points A' et B' sont les projetés orthogonaux
respectifs des points A et de B sur la droite D.
b. Vérifier que S(B') =A'.
c. En déduire que le point [pic] appartient au cercle de diamètre [A'B]. Exercice 8 (corrigé)
Dans le plan complexe, on donne les quatre points A, B, C, D d'affixes
respectives :
[pic], [pic], [pic], [pic].
1. Soit S la similitude qui, à tout point M d'affixe z, fait correspondre
le point M' d'affixe z' déterminée par : [pic].
a. Donner les éléments de cette similitude : point invariant (, rapport,
angle.
b. Quelle est l'image par S du point C ? du point D ? Montrer que les
vecteurs [pic] et [pic] sont orthogonaux.
2. Soit R la similitude déterminée par R(B)=C et R(D)=A.
a. Trouver la relation liant l'affixe z d'un point M et l'affixe z' de
son image R(M).
b. Donner les éléments de cette similitude.
Montrer que les vecteurs [pic] et [pic] sont orthogonaux.
c. Que représente le point D pour le triangle ABC ?
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[pic]