Corrigé des exercices - Jean-Michel Laffaille

PREMIER PRINCIPE DE LA THERMODYNAMIQUE - corrigé des exercices A. EXERCICES DE BASE Mélange de gaz parfaits
1. . Pour un gaz parfait H = U + pV = U + nRT, où H et U ne dépendent
que de la température. Ainsi Cp = [pic] = [pic] + nR = Cv + nR (relation
de Mayer). On en déduit : ? = [pic] = [pic]. 2. . On peut calculer : ? = [pic] = [pic] = [pic].
. Mais par ailleurs : Cpmi = Cvmi + R = ?i Cvmi donc Cvmi = [pic]
et Cpmi = [pic].
. En remplaçant, on obtient ainsi : ? = [pic]. Mesure d'une capacité thermique massique
1. . En notant D le débit massique, le déplacement d'une tranche de
liquide pendant une durée dt correspond à l'entrée d'une masse dm = D dt
à la température T1 et la sortie d'une même masse à la température T2.
. En régime stationnaire, toute la partie médiane reste inchangée (y
compris la résistance chauffante), donc le déplacement de la tranche
équivaut à un remplacement d'une masse dm de température T1 par une masse
dm de température T2.
. Ainsi : dHi(Ti) = dm c Ti et donc dH = dm c.(T2 - T1). 2. . Si on choisit d'inclure la résistance dans le système, ce dernier ne
reçoit pas de chaleur mais reçoit le travail électrique dW = RI2 dt.
? remarque : pour un liquide, incompressible et indilatable, les
travaux des forces pressantes de part et d'autre se compensent ; en outre,
il suffit de raisonner avec l'enthalpie pour éviter de devoir en détailler
le calcul.
. Si on choisit de ne pas inclure la résistance dans le système, ce
dernier ne reçoit pas de travail. il faut par contre préciser qu'en régime
stationnaire, la température de la résistance restant constante, celle-ci
elle transmet au liquide sous forme de chaleur autant d'énergie qu'elle
reçoit électriquement : ?Q = RI2 dt.
. Le premier principe donne : dU ? dH = dm c.(T2 - T1) = RI2 dt ;
donc : D c.(T2 - T1) = RI2 et finalement : c = [pic] = 758 J.K-1.kg-1. Mesure d'une capacité thermique massique
1. . On note M la masse d'eau équivalant au colorimètre plus l'eau
contenue et m1 la masse de liquide intérieur. En notant D le débit
massique, le déplacement d'une tranche de liquide pendant une durée dt
correspond à l'entrée d'une masse dm = D dt à la température T1 et la
sortie d'une même masse à la température T(t).
. L'application du premier principe donne : dU ? dH = (Mc + m1c1) dT
+ dm c1.(T - T1) = 0 où on considère la capacité thermique de la quantité
de liquide dont la température a changé.
. Ceci correspond à : (Mc + m1c1) [pic] + Dc1.(T - T1) = 0 donc
finalement : T = T1 + (T0 - T1) e-t/? avec une constante de temps ? =
[pic]. 2. . D'après les données : ? = [pic] = 840 s. On en déduit : c1 =
[pic] = 1,01 ± 0,05 J.g-1.K-1. 3. . En négligeant la contribution de la masse de liquide dans le calcul
de la capacité thermique totale, on obtient : c1 ? [pic] = 0,995 J.g-1.K-
1. On constate que l'écart est négligeable en comparaison des incertitudes
de mesures (il faudrait effectuer plusieurs mesures, plus précises, sur des
durées plus longues, en prenant beaucoup de précautions pour l'isolation
thermique...). Freinage d'un camion
1. . Considéré à pression constante, le premier principe peut s'écrire :
dEm + dH = ?W + ?Q (où ?W représente l'ensemble des travaux autres que
ceux des forces pressantes ou des forces prises en compte dans l'énergie
potentielle).
. En supposant que le système {automobile} est thermiquement
parfaitement isolé de l'extérieur, on peut considérer que (globalement) :
?Q = 0. En supposant qu'il est pseudo-isolé mécaniquement, et qu'il ne
reçoit pas d'autres travaux (électriques, ou autres), on peut considérer
que : ?W = 0 (la réaction normale du sol compense le poids ; le
frottement au sol ne travaille pas car il ne déplace pas son point
d'application tant que l'automobile ne dérape pas).
. En supposant que le mouvement est horizontal, on peut considérer en
outre que pour la pesanteur : dEp = 0. Le premier principe se limite donc
à : dEc + dH = 0.
? remarque : il serait ici "imprudent" d'essayer de raisonner sur la
condition ?Q = 0 (qui ne correspond pas à une différentielle totale)
alors qu'interviennent des frottements (phénomènes irréversibles).
. En considérant la somme des contributions des différentes parties du
système (à pression constante), on obtient ainsi : dEc + dH = d([pic]Mv2)
+ CpdT où d([pic]Mv2) décrit le ralentissement de l'automobile, et où
CpdT décrit le réchauffement des freins.
. En intégrant sur toute la transformation (en supposant constante la
quantité Cp = mc), on obtient : ?Ec + ?H = -[pic]Mv02 + mc ?T = 0 et
donc : ?T = [pic], avec : m = 4?V et V = ?r2e. Ceci donne
numériquement : ?T = 330°C. 2. . L'échauffement calculé est celui que subiraient les freins s'ils
étaient thermiquement isolés, c'est pourquoi ils ne le sont pas (on les
place volontairement dans un emplacement bien ventilé).
. Il n'en reste pas moins que l'échauffement serait important et
risquerait de provoquer l'ébullition du liquide servant à la transmission
des commandes de freinage. Les bulles de gaz apparaissant dans le liquide
perturberaient alors la transmission de l'effort de compression imposé par
la pédale de frein et le freinage serait inopérant.
. L'utilisation de ralentisseurs électromagnétiques, dont la
transmission se fait électriquement, permet d'éviter cet inconvénient.
? remarque : les transmissions par câbles et tringles (qui étaient
utilisées au début de l'époque de l'automobile) sont plutôt à éviter, à
cause des risques trop importants de grippage et/ou d'usure. B. EXERCICES D'APPROFONDISSEMENT Échauffement d'un résistor
. Le travail électrique reçu est : ?W = P dt, la quantité de
chaleur reçue est : ?Q = -aC.(T-T0) dt, donc la variation de l'enthalpie
donne la relation : dH = C dT = ?Q + ?W = -aC.(T-T0) dt + P dt.
. Ceci conduit à une variation de T selon l'équation différentielle
linéaire : [pic] + a T = a T0 + [pic].
. Les solutions sont de la forme : T(t) = T0 + [pic] + ? e-at où ?
est une constante qui découle des conditions initiales : T(0) = T0 = T0 +
[pic] + ?, donc ? = -[pic] et finalement : T(t) = T0 + [pic].(1 - e-
at).
. La température limite au bout d'un temps très long est : Tlim = T0
+ [pic].