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Cours
FABRICATION des machines-outils MATHEMATIQUES
Par Bruno MARTIN-VALLAS
« ils voulaient tout savoir « Sommaire N°
page
INTRODUCTION contexte / objectif / démarche / priorités / pédagogie
2
partie I - l' OBSERVATION élémentaire, une variable, sa mesure et sa valeur
en physique = les variables principales
I-1/ les ENSEMBLES
5
éléments / opérations / relations /
I-2/ les NOMBRES
10
nombres / opérations / N entiers / premiers / Z relatifs / Q
fractions /R réels / C complexes
I-3/ les CHIFFRES, l'écriture des nombres
21
chiffres / bases / opérations / table d'addition / table de
multiplication
I-4/ les VARIABLES, des valeurs dénombrables, mesures.
partie II - l' ANALYSE, le lien, les fonctions, la relation entre plusieurs
éléments variables
en physique = l'écriture des lois de la nature
II-1/ une FONCTION y = f(x)
28
une fonction / diversité des fonctions / équation / dérivée /
primitive / tangente / représentation graphique / développement limité
/ étude d'une fonction /
II-2/ les fonctions CONTINUES , une par une , type f(x) ...
38
linéaire / monôme / polynôme / trigonométrie / conique / logarithme /
exponentielle...
II-3/ les fonctions DISCONTINUES type f(n)
suites / séries / limites /
II-4/ les fonctions ALEATOIRES
- fonction statistique / population / fréquence / histogramme / tendance
centrale / dispersion / corrélation
- probabilités, fonctions probabilistes, courbe (en cloche) de Gauss (loi
des grands nombres), Bernouilli,
partie III - l' ESPACE matériel, visible et palpable, puis élargi au temps
(l'espace temps) et plus
en physique = reconnaissance des formes,
distance, position, vitesse
III-1/ la GEOMETRIE
39
points / courbes / surfaces / volumes
III-2/ les MESURES géométriques
mesures / formes / théorème de Thalès / théorème de Pythagore /
III-3/ autres APPROCHES de la géométrie
géométrie analytique / géométrie descriptive / géométrie non euclidienne /
partie IV - l'ALGEBRE, les élargissements sans nombre, la diversité des
représentations
en physique =les univers immatériels, psychiques,
conceptuels
IV-1/ la théorie des ENSEMBLES
40
définitions / propriétés / mesure / anneaux / corps / fonctions
multivariables /
IV-2/ les ESPACES VECTORIELS
fonctions multilinéaires / équations multilinéaires / matrices /
déterminants /
IV-3/ la LOGIQUE
41
IV-4/ théorie des GRAPHES
Partie V - COMPLEMENTS divers
V-1/ hors programmes SCOLAIRES
42
chiffres romains / table de logarithmes / calcul d'un déterminant /
degré de liberté
V-2/ VUE GLOBALE des mathématiques
47
les outils de manipulation / les choses à manipuler / vue globale des
territoires mathématiques
V-3/ INDEX, table des accès directs
50
FAQ / index par mot-clé : N°page(s) où le mot est approfondi / lexique
/ symboles / syntaxe Introduction 1/ CONTEXTE
J'ai donné plusieurs cours de mathématiques à des étudiants de différents
niveaux, depuis les calculs de tête jusqu'aux mathématiques dites
supérieures.
Pédagogiquement j'ai partout vu trop d'étudiants perdus et piègés de ne
plus savoir de quoi ils parlent et dont les progrès commencaient par mieux
manipuler et comprendre les bases bien avant toute récitation ou
approfondissement.
Dans mon enfance, par leurs improvisations permanentes à éclairer autrement
la chose enseignée, deux professeurs de physique m'ont fait sentir, et je
dis bien sentir, qu'il y avait une vraie matière vivante et même tout un
paysage absolument charnel, concret, palpable et en relief dans ces mondes
scientifiques dont je n'apprenais les formules que pour me débarrasser de
l'obligation de pouvoir les réciter et faire les exercices que l'école et
mon cursus scolaire contrôlaient.
Les mathématiques sont des machines-outils conceptuelles, un territoire de
concepts avec un langage pour les manipuler.
Ici le lecteur est en position non pas d'utilisateur mais de concepteur
fabricant de ces machines-outils, pour reprendre à zéro (et même avant, car
les romains ne connaissaient pas le zéro!) et se réinventer tout à tout
endroit du programme de mathématiques :
- en amont qualitativement « à cause de quoi » et « pour obtenir
quoi » : comprendre la raison d'être, les envies à l'origine des
concepts,
- au milieu le langage, y concevoir les définitions et leurs symboles
associés,
- en aval le résultat, les machines outils, fabriquer les propriétés,
formules et modalités d'utilisation.
Il s'agit de partir du pourquoi des choses, pour seulement ensuite d'en
extraire les conséquences, en répondant à trois questions : d'où ça sort ?
à quoi ça sert ? comment ça marche ? Oui, il n'y a peut-être aucune demande pour cette approche, trop simple et
durable dans notre univers d'exécutants aveugles et pressés.
Pourtant, ici, j'ai choisi de permettre à qui le veut de se refabriquer à
tout endroit la compréhension profonde et élémentaire de n'importe quoi
n'importe où en maths. 2/ OBJECTIFS
Qu'à tout endroit des mathématiques le lecteur puisse repartir d'une
définition précise, sur le fond (ça sort d'où ? pour faire quoi ?) et sur
la forme (ça marche comment ? définitions, symboles et syntaxe). Comme les anciens artisans qui au début de leur apprentissage fabriquaient
eux-même les outils qu'ils allaient utiliser toute leur vie dans leur
métier, le but de ce cours est que l'étudiant sache, sente, comprenne,
respire d'où et dans quel but ont été construit ces outils.
Pour qu'il maitrise seul de a à z toute question mathématique, non pas en
l'apprenant, mais comme tout bon bricoleur en pouvant fabriquer, démonter
et remonter lui-même de A à Z toute la machine-outil des CONCEPTS,
DEFINITIONS, SYMBOLES, PROPRIETES et FORMULES mathématiques. Ainsi :
- une fois qu'il les aura tous oubliés il ne sera même pas perdu car il
pourra tous les reconstruire,
- et il pourra s'adapter à un usage nouveau dans un contexte jamais
rencontré, car pouvant remonter aux origines de ses outils il pourra
se reconstruire leurs conditions de validité donc d'application. Ce cours s'adresse à tout exploitant-utilisateur, qui ne comprend pas
toujours ses outils mathématiques et dont il oublie ou récite mal les
recettes et formules.
Il propose la posture de concepteur fabricant des machines outils
mathématiques, pour en comprendre l'origine et à partir des intentions se
refabriquer les définitions, propriétés et formules. Toute personne, même si elle a oublié ses additions ou multiplications,
peut y maitriser tout endroit du programme mathématique, de la maternelle
aux mathématiques supérieures, en y désossant et refabriquant les machines
outils correspondantes. Cette approche prépare aussi à une posture plus responsable dans notre
quotidien professionnel et politique, de comprendre les systèmes
médiatiques dans lesquels chacun vit pour les améliorer au lieu de les
subir, s'y sentir dépassé, irresponsable (« les experts savent mieux ! »)
et s'y plaindre (« ça me dépasse, je n'y comprend rien, c'est trop
compliqué »). 3/ DEMARCHE
L'objectif de cet ouvrage est en amont, pour maitriser la conception et
fabrication des machines-outils mathématiques.
Du coup l'aval est absent, l'entrainement à la manipulation de ces même
machines-outils en les utilisant dans des exercices nombreux et variés est
à faire dans d'autres ouvrages déjà largement disponibles. 4/ UNE PRIORITE : oubliez vos allergies aux maths et maitrisez votre
SYNTAXE !
Trop d'étudiants ont pris en aversion les signes et écritures mathématiques
qu'ils n'imaginent même plus pouvoir lire et comprendre, comme ils lisent
le français.
Un a n'est pas un b, une clé de 12 n'est pas une clé de 14, le symbole ?
n'est pas le symbole ?.
Qui reproche au français d'utiliser des lettres pour être lu ?
Oui, lire un langage inclut de connaitre son alphabet et sa syntaxe !
En français, programmation C++ ou mathématiques, c'est nécessaire pour lire
et écrire, comprendre et manipuler.
Rien de compliqué, pas plus de signes ou règles en mathématiques
qu'ailleurs, et une particularité qui se retrouve en programmation mais pas
en français : l'écriture mathématiques exige une inhabituelle et extrême
précision, elle est avare de signes, ennemie des redondances et amoureuse
de la sobriété.
Un tout petit signe manque et tout le sens est autre.
Chaque signe, point, virgule, position (sur la ligne, en indice, en
exposant) transforme le sens. Pourquoi ce culte de la sobriété dans l'écriture mathématique ?
Parce qu'encore en 1650 l'écriture mathématique la plus courte était : la
variable nommée « y » est égale à une constante nommée b à laquelle on
ajoute le résultat de la multiplication de la variable nommée « x »
multipliée par une deuxième cons