Feuille d'exercices n° 5 - Baudrand

Chapitre V
Algèbre linéaire, diagonalisation
1. Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres des matrices A
(traiter les exercices 1 et 2 parallèlement ) :
1°) [pic] 2°) [pic] 3°) [pic] 4°) [pic]
5°) [pic] 6°) [pic] .
rep : 1°) (1 (0,1,-1) ; 5 (1,2,1) ; 2 (1,0,0). 2°) 0
(1,-1) ; 2 (1,1).
3°) 0 (0,0,1) ; -1 (1,-1,1) ; 3 (3,3,1) 4°) 0
(1,0,-1) ; 2 (1,0,1), (0,1,0) (eq. x = z).
5°) -1 (1,0,1) ; 1 (0,1,1) ; 3 (-1,1,1) 6°) -1 (2,-
1,1) ; 1 (1,2, -1).
2. Pour chacune des matrices A de l'exercice 1, dire si elle est :
a) inversible ;
b) diagonalisable ; expliciter alors D diagonale et P inversible
telles que A = PDP-1. 3. 1°) Diagonaliser la matrice A = [pic]
2°) Calculer An, pour n ( N.
3°) Soit (un) et (vn) les suites définies par : [pic] , [pic]( n (
N*).
Montrer : (n (N [pic]. En déduire l'expression de un et vn en
fonction de n.
4. Matrice non diagonalisable. Soit A = [pic]. Déterminer les valeurs
propres et les vecteurs propres de A. En déduire que A n'est pas
diagonalisable. 5. Matrice 3-3 diagonalisable avec 2 valeurs propres. Soit A = [pic].
Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de A. En déduire
que A est diagonalisable. 6. 1°) Que peut-on dire d'une matrice diagonalisable admettant 1
pour SEULE valeur propre ? Que peut-on dire d'une matrice diagonalisable
admettant une unique valeur propre ( ? La matrice [pic]est-elle
diagonalisable ? inversible ? et la matrice [pic] ? etc.
2°) Donner un exemple de chacun des types suivants de matrices : (on
donnera des matrices 2-2)
diagonalisable et inversible ; diagonalisable et
non inversible ;
non diagonalisable et inversible ; non diagonalisable et non
inversible.
7. 1°) Montrer que si ( est valeur propre de A, alors (2 est valeur propre
de A2,..., (n est valeur propre de An.
2°) Soit A une matrice telle que A3 = 0, avec A2 différent de 0. Montrer
que A n'est pas inversible et que 0 est l'unique valeur propre de A. A
est-elle diagonalisable ?
3°) Soit A une matrice telle que A3 - 2A2 - A + 2I = 0. Montrer que les
valeurs propres de A sont dans {-1, 1, 2}. 8. (escp 99 ; également autres espaces vectoriels) Soit M2(R) l'ensemble
des matrices carrées d'ordre 2 muni de sa structure d'espace vectoriel et
soit J la matrice J = [pic].
1. On considère l'application S de M2(R) dans lui-même qui associe à tout
élément M de M2(R) l'élément S(M) = J M J.
Montrer que l'application S ainsi définie est un automorphisme de
l'espace vectoriel M2(R). Quel est l'automorphisme réciproque de S ?
Montrer que si M et N sont deux éléments quelconques de M2(R), on a
S(MN) = S(M)S(N).
2. On considère les éléments
I = [pic] J = [pic] K = [pic] L = [pic].
Montrer que (I, J, K, L) forme une base de l'espace vectoriel M2(R).
3. Montrer que I, J, K, L sont des vecteurs propres de S. Déterminer la
matrice représentant l'automorphisme S dans la base (I, J, K, L).
4. Soit F l'ensemble des éléments M de M2(R) vérifiant S(M) = M et soit G
l'ensemble des éléments M de M2(R) vérifiant S(M) = ( M. Montrer que F
et G sont des sous-espaces vectoriels de M2(R) et que tout élément M de
M2(R) peut s'écrire d'une manière et d'une seule sous la forme M = M+ +
M ( avec M+ ( F et M ( ( G.
A titre d'exemple, déterminer les matrices A+ et A( lorsque A =
[pic].
5. a) Montrer que le produit de deux matrices appartenant à F appartient
aussi à F. Que peut-on dire du produit de deux éléments de G ?
b) Plus précisément, pour deux matrices M et N de M2(R), exprimer
(MN)+ et (MN)( en fonction de M+, M( , N+ et N( .
9. (inseec 2001) On considère la matrice carrée réelle d'ordre trois : A =
[pic] et l'endomorphisme f de R3 de matrice A dans la base canonique de
R3.
1) Déterminer une base de lm f et de Ker f.
2) On considère la matrice P = [pic]. Montrer que P est inversible et
déterminer P(1.
3) a) Déterminer les valeurs propres et les sous espaces propres de f.
b) En déduire l'existence d'une matrice diagonale A' telle que A =P A'
P(1.
4) Dans cette question on s'intéresse aux solutions de l'équation
matricielle M3 = A (*) où M est une matrice carrée réelle d'ordre 3.
a) Montrer que si M vérifie la relation (*) alors M A = A M.
b) On note X1 = [pic], X2 = [pic], X3 = [pic]. Si la matrice M vérifie la
relation (*), déduire de la question précédente que X1, X2, X3 sont des
vecteurs propres de M .
c) En déduire l'existence d'une matrice diagonale M ' d'ordre 3 telle que
M = P M ' P(1. Quelle relation a t- on entre les matrices M ' et A' ?
d) Conclure.
10. (escp 2001) A. On considère la matrice A définie par : [pic]
et on note ( l'endomorphisme de R3 représenté par A dans la base canonique.
1. Montrer que A admet les valeurs propres 1 et 2 et n'en admet pas
d'autres. Déterminer les sous-espaces propres associés à ces valeurs
propres. La matrice A est-elle diagonalisable ?
2. Soit V un vecteur propre de A associé à la valeur propre 1. Trouver un
vecteur W de R3 tel que ((W) = V + W.
3. Soit U un vecteur propre de A associé à la valeur propre 2. Montrer
que la famille (U, V, W) est une base de R3.
4. Déterminer la matrice B représentant l'endomorphisme ( dans la base
(U, V, W) ainsi qu'une matrice inversible P telle qu'on ait l'égalité B =
P(1AP.
B. On donne les matrices :
[pic]
et, pour (a, b, c) ( R3 :
M(a, b, c) = aI + bH + cN.
On considère le sous-ensemble E de M3(R) des matrices M(a, b, c) quand
(a, b, c) décrit R3.
1. Montrer que E est un espace vectoriel, préciser sa dimension.
2. Préciser les conditions que doivent vérifier a, b, c pour que M(a, b,
c) soit inversible. Déterminer alors sa matrice inverse.
3. Déterminer les valeurs propres de M(a, b, c). Montrer que M(a, b, c)
est diagonalisable si et seulement si c = 0.
11. (hec 2001) On note m un paramètre réel et on considère les matrices Hm
définies par
[pic].
1°) On suppose dans cette question que m = 2. Déterminer les valeurs
propres de la matrice H2 et les sous-espaces propres associés. La matrice
H2 est-elle diagonalisable ? Si oui, donner une base de vecteurs propres.
2°) Etudier de même les valeurs propres et les sous-espaces propres de la
matrice H0. Cette matrice est-elle diagonalisable ?
3°) a) Montrer qu'il existe un réel a, que l'on déterminera, qui est une
valeur propre de la matrice Hm pour toutes les valeurs du paramètre m.
b) Déterminer, pour chaque valeur de m, le sous-espace propre de Hm
associé à la valeur propre a. Montrer qu'on peut trouver un vecteur non
nul v1 appartenant à tous ces espaces.
4°) soit F le sous-espace de R3 engendré par les vecteurs v2 = (1, 0, 1)
et v2 = (1, 1, 0). Déterminer les vecteurs hm(v2) et hm(v3) et montrer
que ces vecteurs appartiennent à F pour tout m réel.
5°) En se plaçant dans la base de R3 formée par les vecteurs v1, v2 et
v3, déterminer les valeurs de m pour lesquelles la matrice Hm est
diagonalisable.
12. (inseec 2002, extrait ; voir chap VIII) On considère la matrice carrée
réelle d'ordre 3 : [pic] et on note ( l'endomorphisme de R3 dont la
matrice est A, dans la base canonique b = (e1, e2, e3) de R3.
1) Déterminer le noyau et l'image de (. En déduire que 0 est une valeur
propre de (.
2) a) Justifier que la matrice A est diagonalisable.
b) Vérifier que 4 et 6 sont deux valeurs propres de ( et déterminer les
sous-espaces propres associés.
c) On pose u1 = (e1 + e2 + 2e3 , u2 = e1 + e2 et u3 = e1 ( e2 + e3,
montrer que b' = (u1, u2, u3) est une base de R3 et déterminer la matrice
A' de ( dans cette base.
3) Soient (, (, ( trois nombres réels non nuls et P la matrice définie
par [pic]
a) Montrer en utilisant la question précédente que P est inversible.
b) On rappelle que pour toute matrice A = (aij), on appelle transposée de
A la matrice, notée tA, définie par tA = (aji), c'est à dire obtenue en
permutant les lignes et les colonnes de A, ainsi
[pic].
Calculer le produit P.tP et en déduire l'existence de valeurs de (, ( et
( telles que tP = P(1.
Annales e.m. lyon (ex e.s.c.l)
. escl 88 Soit f : R3 [pic] R3 , (x, y, z) [pic](3x -2y, 2x -4z, y -3z).
1°) Ecrire la matrice A de f dans la base canonique de R3 .
2°) Déterminer les valeurs propres de A. En déduire que A n'est pas
inversible et que A est diagonalisable.
3°) Calculer A2, A3. En déduire An, n ( N.
. escl 89 Soit A = M(f, B) = [pic] , B base canonique de R3.
1°) Déterminer une base et la dimension de Ker(f), de Im(f).
2°) Calculer les valeurs propres et les vecteurs propres de f. f est-il
diagonalisable ?
f est- un automorphisme de R3 ?
3°) Calculer An, pour n ( N.
4°) Déterminer tous les réels x tels que (A - x.I)2 = I (I matrice
unité). Existe-t-il un réel
x tel que (A - x.I)3 = I ?
. escl 90 Soient f et g les endomorphismes de R3 dont les matrices F et G
relativement à la base canonique de R3 sont :
F = [pic] G = [pic] .
1°) a) Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de f.
b) Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de g.
2°) Montrer qu'il existe une base de R3 formée de vecteurs propres
de f et g.
3°) Pour a ( R, soit H(a) la matrice carrée d'ordre 3 suivante :
H(a) = [pic].
a) Montrer, pour tout a dans R : H(a) = aF + (1 - a)G.
b) Calculer, pour tout a dans R, et tout n dans N*,