l'essentiel du cours

TD 9
LES SERIES CHRONOLOGIQUES
LA CORRECTION DES VARIATIONS SAISONNIERES


L'ESSENTIEL DU COURS

Dans ce thème sur les séries chronologiques, qui est la suite du TD 8, il
sera abordé essentiellement la correction des variations saisonnières des
séries. Quand la série chronologique est de type déterministe, il est
possible de voir sur un graphique les trois grandes composantes d'une série
(c. f. TD 8). Il nous faudra également connaître le type de modèle additif
ou multiplicatif. Alors, nous pourrons procéder à l'élimination la
composante tendancielle à l'aide du filtre des moyennes mobiles, puis
estimer la composante saisonnière dans les meilleures conditions
statistiques, pour enfin restituer le plus fidèlement possible la
composante tendancielle et la composante saisonnière et en déduire la
composante résiduelle.

1 Construction des séries corrigées des variations saisonnières ou séries
CVS.

La correction des variations saisonnières suppose que certaines hypothèses
soient vérifiées et cela dans le but de simplifier certaines écritures.

1 Les hypothèses :


1 Hypothèse 1: La décomposition de la série

Nous admettrons que la série chronologique n'est constituée que de trois
composantes, qui sont :
- la tendance notée Tt
- la saisonnalité notée St
- le résidu noté Rt

2 Hypothèse 2: Les modèles

Nous nous intéresserons à trois types de modèles :
- le modèle additif,
yt = Tt + St + Rt
- le modèle multiplicatif général,
yt = Tt (1+St) + Rt
- le modèle multiplicatif particulier de la forme :
yt = Tt*St*Rt
ce dernier modèle devient additif lorsque nous appliquons un logarithme :
ln(yt) = ln(Tt) + ln(St) + ln(Rt)
Si nous posons le changement de variable :
y't = ln(yt) T't = ln(Tt) S't = ln(St) R't = ln(Rt)
alors le modèle peut être traité de façon additive :
y't = T't + S't + R't

3 Hypothèse 3: La composante tendancielle

Nous admettons que l'opérateur moyenne mobile laisse passer la composante
tendancielle sans la modifier si la tendance est un polynôme de degré au
plus égal a un de la forme :
Tt = a t + b

4 Hypothèse 4: La composante saisonnière

La saison est rigoureusement identique de période en période, hypothèse que
l'on écrit de la façon suivante :
St = Sij = Sj avec St+p = Si+1,j = Sj avec j = 1,....,p
Il y a compensation des p composantes saisonnières Sj . Nous pouvons écrire
cette hypothèse sous la forme :
[pic]
Cette hypothèse est également connue sous le nom de compensation des aires.

5 Hypothèse 5 : La composante résiduelle

Les variations résiduelles possèdent les propriétés suivantes :
[pic] [pic]
La moyenne mobile appliquée aux variations résiduelles a des fluctuations
très faibles autour de zéro.
[pic]


2 Le calcul des coefficients saisonniers et la correction des variations
saisonnières des séries chronologiques

Plusieurs étapes sont nécessaires pour trouver les coefficients saisonniers
et corriger les séries chronologiques des variations saisonnières :

1 ETAPE 1: La représentation graphique

Nous représentons graphiquement la série chronologique pour observer les
trois composantes de la série et éventuellement pour repérer les points
aberrants.

2 ETAPE 2 : Les corrections des points aberrants

Cette étape consiste à éliminer par un calcul simple les points aberrants
pour qu'ils ne soient pas pris en compte dans les calculs. Estimation
graphique, ou estimation par une moyenne ou par toute autre méthode. Nous
retiendrons comme méthode la demi-somme des deux points qui encadrent le
point aberrant.

3 ETAPE 3 : Le choix du modèle

Nous déterminerons le type de modèle à utiliser pour la correction des
variations saisonnières. Deux grands modèles sont à notre disposition ; le
modèle additif ou multiplicatif. Plusieurs méthodes (cf TD 8) :
- La méthode du profil,
- La méthode de la bande,
- La méthode du tableau de Buys-Ballot.

4 ETAPE 4 : Le filtrage de la série

Dans cette étape, nous allons supprimer la composante saisonnière en
appliquant un filtre. Ainsi, nous devons déterminer la longueur p de la
moyenne mobile que nous devons appliquer afin d'éliminer les variations
saisonnières. Nous conviendrons qu'elle doit être au moins égale à la
saison de la série. Nous envisagerons deux cas :

Cas d'un modèle additif

yt = Tt + St + Rt
Soit X la série des moyennes mobiles définie :
- si p est paire par:
[pic]
- si p est impaire par :
[pic]
nous calculons la série des différences saisonnières définies par :
[pic]
Pour le mois ou trimestre j, on obtient un première approximation du
coefficient saisonnier S'j en calculant la moyenne ou la médiane des
différences saisonnières. Mais l'hypothèse dite de « conservation des
aires » ne peut être vérifiée puisque les coefficients saisonniers sont
obtenus de façon indépendante. Ainsi, nous corrigeons les coefficients S'j
en procédant de la manière suivante :
- recherche de la moyenne des coefficients saisonniers
[pic]
- correction des coefficients saisonniers
[pic]

Cas d'un modèle multiplicatif

Le seul modèle multiplicatif que nous verrons sera de la forme :
yt = Tt (1+St) + Rt
que l'on peut écrire de la façon suivante, si nous remplaçons l'indice t
par sa décomposition en année et saison (cf. TD 8) :
yij = Tij (1+Sj) + Rij
Posons un changement de variable simple:
sj = 1 + Sj
où sj est appelé coefficient saisonnier.
Le modèle s'écrit alors de la façon suivante :
yij = Tij sj + Rij
On calcule les rapports saisonniers
[pic]
Pour le mois ou le trimestre j on obtient une première approximation du
coefficient saisonnier S'j en calculant la moyenne ou la médiane des
différences saisonnières.
Mais l'hypothèse dite de « conservation des aires » ne peut être vérifiée
puisque les coefficients saisonniers sont obtenus de façon indépendante.
Avant de corriger les coefficients saisonniers nous rappelons les
hypothèses suivantes :
- Hypothèse sur les coefficients saisonniers
[pic]
- Hypothèse sur la moyenne des coefficients saisonniers
sj = 1 + Sj
[pic]
Ainsi, nous pouvons maintenant corriger les coefficients S'j en procédant
de la manière suivante :
- recherche de la moyenne des coefficients saisonniers
[pic]
- correction des coefficients saisonniers
[pic]

5 ETAPE 5 :La série corrigée des variations saisonnières

C'est la dernière étape de la construction des séries chronologiques
corrigées des variations saisonnières. Deux cas se présentent :

1 Cas d'un modèle additif

La série CVS s'écrit:
[pic]

2 Cas d'un modèle multiplicatif

La série CVS s'écrit:
[pic]


POUVEZ-VOUS REPONDRE ?


En 10 questions testez vos acquis
VRAI FAUX
|1 - La tendance peut s'exprimer en fonction du temps. | | |
|2 - La moyenne mobile est un filtre qui permet | | |
|d'élimer la tendance, lorsque cette tendance est un | | |
|polynôme supérieur à un. | | |
|3 - La saison est la dénomination statistique du cycle| | |
|de court terme. | | |
|4 - La composante résiduelle à pour moyenne zéro. | | |
|5 - Lorsque nous sommes en présence d'un modèle | | |
|multiplicatif, la somme des coefficients saisonniers | | |
|corrigés est nulle | | |
|6 - Il faut corriger les coefficients saisonniers car | | |
|ils sont calculés de façon indépendante | | |
|7 - La longueur de la moyenne mobile doit être | | |
|inférieure à la saison de la série | | |
|8 - Les différences saisonnières donnent une | | |
|approximation de la saison | | |
|9 - La compensation des aires est une propriété sua la| | |
|composante tendancielle | | |
|10 - La série corrigée des variations saisonnières | | |
|nous permet d'étudier le comportement de long terme | | |





QUESTIONS DE REFLEXION ?


11 - Comment réaliser une prévision à partir de la connaissance de la
structure d'une série chronologique, dans le cas d'un modèle additif en
supposant que la composante résiduelle est nulle, et que la composante
tendancielle est linéaire. On suppose que la série possède des valeurs sur
le domaine t({1,...,T} ou T est la dernière observation connue sur la
série.

12 - Pourquoi la somme des coefficients saisonniers n'est pas nulle dans le
cas d'un modèle additif. Que doit faire pour corriger ce dé