Exercice 2 Décharge d'un condensateur 5 pts

09/2006 Antilles Exercice n°2 ( 5 points) DÉCHarge d'un
condensateur
http://labolycee.org On envisage le circuit suivant constitué d'un conducteur ohmique de
résistance R et d'un condensateur de capacité C.
À l' instant t = 0, le condensateur est chargé sous la tension U0 = 10 V. On notera :
uc la tension aux bornes du condensateur à l'instant t, et l'on a uc(0) =
U0
uR la tension aux bornes du conducteur ohmique à l'instant t,
i l'intensité du courant à l'instant t. Cette intensité a été comptée
positivement au cours de la charge du condensateur,
qA la charge de l'armature A du condensateur à l'instant t.
Établissement de l'équation différentielle lors de la décharge 1. Quelle relation lie uR et uc ? 2. Rappeler la relation qui lie la charge qA de l'armature A à la tension
uc. 3. Quel est le signe de i ? Établir la relation liant l'intensité i du
courant à la tension uc. 4. Montrer que l'équation différentielle régissant l'évolution de uc peut
s'écrire :
( uc + [pic]= 0 où ( est une constante non nulle.
Donner alors l'expression de ( en fonction de R et C.
SOLUTION DE L'ÉqUAtiON DiffÉrentielle Une solution de l'équation différentielle peut s'écrire uc = Ae -(t où A et
( sont deux constantes positives non nulles.
1. En utilisant l'équation différentielle, montrer que ( = [pic].
2. Déterminer la valeur de A. 3. Indiquer parmi les courbes 1 et 2 données ci-après, celle qui peut
représenter uc. Justifier la réponse.
4. Donner l'expression littérale de la constante de temps (.
5. Montrer par analyse dimensionnelle que ( a la même unité qu'une durée.
6. Déterminer sur la courbe choisie la valeur de la constante de temps ( du
circuit.
7. Sachant que R = 33 (, en déduire la valeur de la capacité C du
condensateur.
3. INTENSITÉ DU COURANT 1. En utilisant les résultats précédents, montrer que i = [pic].
2. Déterminer la valeur I0 de i à t = 0.
3. En justifiant la réponse, indiquer parmi les quatre courbes ci-dessous
celle qui peut représenter i. 4. Calculer la valeur de i pour t = 0,50 s.
5. Déterminer la valeur de uc à la même date.
6. Le condensateur est-il déchargé ? Justifier la réponse.
4. ÉNERGIE EMMAGASINÉE DANS LE CONDENSATEUR Rappeler l'expression de l'énergie emmagasinée dans le condensateur du
montage étudié en fonction de sa capacité et de la tension uc à ses bornes,
puis en fonction de sa capacité et de la charge qA de son armature A.
On remplace ce condensateur par un autre condensateur de capacité C'
supérieure à C. Ce
condensateur est chargé sous la même tension U0. L'énergie emmagasinée dans
ce condensateur est-elle supérieure à la précédente ?
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B A C R uR uc i t
Courbe 1 Courbe 2
t i
Courbe 4
t i
Courbe 3
t i 0 0 0 0 [pic]
Courbe 1
[pic]
Courbe 2