Exercices 19

MPSI
CHAPITRE 19 EXERCICES 19-1 Force d'inertie d'entraînement
Un point matériel de masse m est immobile sur un plateau horizontal.
Ce plateau est animé d'un mouvement de translation verticale sinusoïdal
d'équation z = a cos(2 p N t). On désigne par g l'intensité de la
pesanteur. Quelle condition doit satisfaire N pour que le point ne quitte
pas le plateau ?
Application numérique : a = 5 cm et g = 9,8 m.s-2. 19-2 Mouvement dans un référentiel non galiléen
Une circonférence horizontale de centre C et de rayon r est animée
d'un mouvement de rotation uniforme de vitesse angulaire w autour de l'axe
vertical Oz, O étant un point fixe de cette circonférence. Étudier le
mouvement d'un point matériel M glissant sans frottement sur cette
circonférence.
(On introduira l'angle q que fait CM avec le diamètre défini par OC et
on projettera l'équation du mouvement écrite dans un référentiel
convenable, afin d'obtenir une équation différentielle portant sur l'angle
q). 19-3 Force de Coriolis
Un train rapide (v = 350 km.h-1) circule dans la direction nord-sud en
un lieu de latitude l = 60 ° nord. Préciser la direction et le sens de la
force de Coriolis.
De quel angle faudrait-il incliner le plan des rails sur l'horizon si
l'on voulait que la réaction des rails soit rigoureusement perpendiculaire
à ce plan ? On donne g = 10 m.s-2. 19-4 Chute dans un référentiel tournant
Un manège d'axe OZ vertical tourne à la vitesse angulaire constante w
autour de celui-ci. On considère des axes OX et OY liés au manège dans un
plan horizontal à la hauteur h au dessus du plancher. L'axe OZ est
ascendant et la rotation se fait dans le sens direct par rapport à OZ. 1) On lâche. sans vitesse initiale dans le référentiel lié à OXYZ, une
masse ponctuelle d'un point A de l'axe OX d'abscisse a. Calculer le temps
qu'elle met pour atteindre le plancher.
2) Un fil à plomb en équilibre par rapport au manège est accroché en A. Le
plomb se trouve au niveau du plancher. Calculer ses coordonnées X'0 et Y'0.
3) Calculer les coordonnées X0 et Y0 du point de chute de la masse
ponctuelle du 1).
4) Former les différences X0 - X'0 et Y0 - Y'0 et en donner les
développements limités au premier ordre quand w est petit.
5) Écrire les équations différentielles régissant les variations de X, Y et
Z en fonction du temps pour le mouvement de chute de la bille.
6) Résoudre ce système en tenant compte des conditions initiales. (On
utilisera la variable complexe u = X + i Y). 19-5 Pendule simple dans un ascenseur
Un point matériel de masse m est attaché à un fil de masse
négligeable, inextensible, de longueur L, dont l'autre extrémité est
accrochée au plafond d'un ascenseur. Étudier la période des petites
oscillations de ce pendule dans un plan vertical, en fonction de
l'accélération de l'ascenseur.
Comparer au cas d'un pendule élastique attaché au plafond de
l'ascenseur, (masse ponctuelle attachée à un ressort parfait et oscillant
verticalement). 19-6 Pendule de Foucault
On considère un pendule composé d'une masse m assimilée à un point
matériel M suspendue au bout d'un fil de masse négligeable, inextensible et
de longueur L. Ce fil est suspendu en A (d'altitude h), point fixe
dans le référentiel terrestre RT(O ;[pic] ),[pic]est orienté vers le sud
et horizontal, [pic] est orienté vers l'est et horizontal et [pic] est
vertical et vers le haut.
On néglige tout frottement. On supposera que le mouvement de M est
quasiment uniquement horizontal car de faible amplitude angulaire. La
latitude du point A est notée (. 1) Écrire les équations différentielles du mouvement en appelant ( la
vitesse angulaire de rotation de la Terre sur elle-même. 2) À t = 0, on lâche le point M depuis la position (x0 ; 0 ; z0) avec une
vitesse initiale nulle.
On pose u = x + i y. Montrer que u est solution de l'équation
différentielle [pic]. Exprimer ( et (0 avec (, (, L et g. Calculer
numériquement ( et (0 pour ( = 48 °, L = 68 m, g = 9,81 m.s-2 sachant que
( = 72,9.10-6 rad.s-1.
Résoudre cette équation différentielle (on pourra négliger ( devant
(0). En déduire que le plan vertical d'oscillation tourne avec une période
T que l'on déterminera, dans un sens que l'on précisera.