Suites numériques : Exercices

SUITES ARITHMÉTIQUES


1. Soit une suite arithmétique (Un ) de premier terme U1 = 1 et de raison r
= 3.
1. Écrivez les quatre premiers termes de la suite.
2. Calculez le terme de rang 100.

2. Calculez la raison d'une suite arithmétique de premier terme - 2 et
dont le 15e terme est égal à 33.



3. Pierre souhaite acheter un caméscope d'une valeur de 1 200 E.
Fin janvier il ne dispose que de 870 E, mais en faisant des
économies cette somme évolue régulièrement à la fin de chaque
mois selon le tableau ci-dessous.

|Mois |Janvier |Février |Mars |Avril |Mai |......... |
|Somme |... |940 |1010 |1080 |... |... |
|disponible | | | | | | |
|Un |U1 |U2 |U3 |U4 |U5 |... |
|n(rang) |1 |2 |3 |4 |5 |... |

On note U1 la somme disponible fin janvier.
1.
a) Reportez la valeur de U1 dans le tableau ci-dessus.
b) Calculez U2 - U1; U3 - U2; et U4 - U3.
c) Que remarquez-vous ?
d) La remarque précédente étant supposée vraie pour tous les
mois de l'année, calculez la valeur de U5 et reportez-la dans
le tableau.
2. Montrez que la suite des sommes disponibles est arithmétique.
Précisez son premier terme et sa raison (notée r).
3.
a) Calculez la valeur du terme de rang 6.
b) Retrouvez ce résultat en utilisant la relation: Un = U1 + (n
- 1) r.
c) Cette somme est-elle suffisante pour acheter le caméscope ?
4. À partir de sa prise de décision (fin janvier), combien de mois
Pierre devra-t-il attendre pour pouvoir réaliser son achat ?

4. On considère la suite S des nombres Un définis par Un = 6n - 1 pour
n entier naturel compris entre 1 et 50 (1 n 50).


Calculer les quatre premiers termes : U1 , U2 ,U3 et U4 de la suite
S.

1.
a. Calculer U2 - U1 et U3 -U2.
b. Pour 1 n 50 calculer U n+1 - Un.
c. Quelle est la nature de cette suite ?
2. Pour 1 n 50, la somme Sn des n premiers termes de la suite S est
donnée par :
Sn = (U1 + Un ).
1. Vérifier cette relation pour n = 4.
2. Montrer que pour 1 n 50, Sn = 3 n2 + 2n.
3. Déterminer le nombre n pour lequel Sn = 4 880



SUITES GÉOMÉTRIQUES


Soit une suite géométrique (Un) de premier terme U1 = 16 et de raison
r =

1. Écrivez les cinq premiers termes de la suite.
2. Calculez le terme de rang 10.
I. Soit (Un ) une suite géométrique telle que U1 = 2 et U5 = 162.
Calculez sa raison.

Séries du Capitaine Renard

Les séries Renard forment des suites géométriques; elles sont à la
base des normes employées dans l'industrie (valeur des résistances
électriques, dimensions des outils pour les fabricants, ...).
Complétez le tableau ci-dessous des 10 premiers termes de la série
R 20. (Les résultats sont donnés à 0,01 près.)


|U1 |U2 |U3 |U4 |U5 |U6 |U7 |U8 |U9 |U10 |
|1 |1,12 |1,25 | | | | | | | |


La production d'une entreprise était en 2001 de 12 000 appareils.
Cette entreprise prévoit une augmentation annuelle de 5 % par
rapport à l'année précédente.

1. Calculez
a) la production prévue pour l'année 2002;
b) la production prévue pour l'année 2003.
2. En prenant U1 = 12 000, U2 = 12 600 et U3 = 13 230
a) vérifiez que U1, U2 et U3 sont les trois premiers
termes d'une suite géométrique;
b) déterminez la raison de cette suite;
c) calculez la production prévue en 2010.



Votre employeur vous donne le choix entre deux propositions de
rémunération :

Première proposition : salaire mensuel brut 1 200 E la première
année puis augmentation de 40 E du salaire mensuel tous les ans, au
1er janvier.
Deuxième proposition : salaire mensuel brut 1 000 E la première
année puis augmentation de 5 % du salaire mensuel tous les ans, au
1er janvier.
On se propose d'étudier quelle est la proposition la plus
intéressante pour vous.
On note :
- U1, U2, U3,..., Un, le salaire mensuel brut, de la
première, deuxième, troisième, ... n-ème année pour la
première proposition ;
- V1, V2, V3, ... Vn, le salaire mensuel brut, de la
première, deuxième, troisième, ..., nième année pour la
deuxième proposition.
1. Calculez U2 , U3 , U4 et V2 , V3 , V4 .
2. Donnez la nature et la raison de chacune des suites
(Un ) et (Vn)
3. Exprimez Un et Vn en fonction de n.
4. Calculez pour les deux propositions le salaire
mensuel brut pour la dixième et la onzième année.
5. À partir de quelle année la deuxième proposition est-
elle plus intéressante?