Corrigé des exercices

DYNAMIQUE DES FLUIDES PARFAITS - corrigé des exercices
Vidage d'un récipient cylindrique
a. . En comparant la surface libre du liquide et la sortie de
l'écoulement, la loi de Bernoulli peut s'écrire : p0 + [pic]?v2 + ?gz = p0
+ [pic]?V2 où v = -[pic] est la vitesse de descente en surface, tandis
que V = [pic] est la vitesse de l'écoulement (en fonction du débit D).
. L'incompressibilité impose Sv = sV = D donc v = [pic] ; par
suite : v2 + 2gz = v2.[pic].
. On en tire : [pic] = -? dt, en posant : ? = [pic], ce qui
donne : z = [pic].
b. . On en déduit la durée de vidage : T = [pic] = [pic].
Écoulement à abaissement uniforme
a. . En comparant la surface libre du liquide et la sortie de
l'écoulement, la loi de Bernoulli peut s'écrire : p0 + [pic]?v2 + ?gz = p0
+ [pic]?V2 où v = -[pic] est la vitesse (constante) de descente en
surface, tandis que V = [pic] est la vitesse de l'écoulement (en fonction
du débit D).
. L'incompressibilité impose Sv = sV = D donc v = [pic] ; par
suite : v2 + 2gz = v2.[pic].
. On en tire : S(z) = s.[pic] ce qui montre que le problème semble
avoir une solution.
b. . En notant r le rayon du tube d'écoulement, on en déduit : R(z) =
r.[pic].
? remarque : cela correspond à l'allure suivante :
[pic]
Écoulement à débit constant
a. . En comparant la surface libre du liquide et la sortie de
l'écoulement, la loi de Bernoulli peut s'écrire : p0 + [pic]?v2 + ?gz = p0
+ [pic]?V2 où v = -[pic] est la vitesse de descente en surface, tandis
que V = [pic] est la vitesse (constante) de l'écoulement.
. L'incompressibilité impose Sv = sV = D donc v = [pic] ; par
suite : [pic]+ 2gz = [pic].
. On en tire : S(z) = [pic] ce qui montre que le problème semble
avoir une solution.
? remarque : la vitesse d'écoulement est liée à la hauteur h du
récipient par la relation : V2 = 2gh, ce qui correspond aussi à la chute
libre d'une hauteur h avec vitesse initiale nulle.
b. . En notant r le rayon du tube d'écoulement, on en déduit : R(z) =
[pic].
? remarque : cela correspond à l'allure ci-contre, qui montre le peu
d'intérêt du dispositif ; en particulier l'hypothèse d'écoulement quasi-
stationnaire (et non turbulent) est peu crédible.
Écoulement d'un fluide autour d'une boule en mouvement
1.a. . Il faut ne pas confondre le repère (éventuellement mobile) utilisé
pour noter les calculs du point de vue mathématique, avec le référentiel
par rapport auquel on considère le mouvement. Le mouvement du centre de la
boule, par rapport auquel sont centrées les coordonnées sphériques
envisagées, n'est pas plus gênant que la variation des vecteurs unitaires
de la base sphérique, qui de toute façon dépendent de la position du point
considéré. Il faut par contre, évidemment, en tenir compte dans les
calculs.
1.b. . Le fluide incompressible, caractérisé par [pic] = 0, peut être
décrit par un écoulement potentiel : [pic] = -[pic](F) avec DF = 0.
. Puisque l'équation est linéaire, on peut chercher à décomposer une
solution quelconque sous forme de superposition de solutions particulières.
La forme de la boule conduit à raisonner en coordonnées sphériques, les
solutions particulières peuvent alors être recherchées sous la forme F(r,
q, j) = f(r).Y(q, j).
1.c. . En reportant dans l'expression du laplacien, on peut séparer les
variables :
[pic] = 0 ;
Y.[pic] + f.[pic] = 0 ;
[pic].[pic] = - [pic].[pic].
. Puisque le membre de gauche dépend seulement de r et celui de droite
seulement des angles, il ne peut s'agir que d'une constante, par exemple l,
d'où les équations indiquées.
2.a. . L'équation radiale peut s'écrire : r2 [pic] + 2r [pic] - l f = 0,
équation linéaire à coefficients polynômes. On peut chercher une solution
particulière sous la forme ra, ce qui impose : a.(a - 1) + 2a - l = 0 ;
la constante a est ainsi solution de : a.( a + 1) = l.
. Puisque la somme des deux racines est -1, si on note a la première,
la seconde est -(a - 1). On peut donc écrire la solution générale sous la
forme : f(r) = A ra + [pic] (où A et B sont deux constantes).
? remarque : c'est bien la solution générale puisque l'équation est du
second ordre et qu'il y a deux constantes d'intégration.
2.b. . La vitesse du fluide doit s'annuler à l'infini, donc il faut se
limiter aux exposants strictement négatifs.
3.a. . On envisage en pratique un régime laminaire en l'absence de
turbulences : cas irrotationnel. L'effet prépondérant dans le mouvement du
fluide est dans ce cas le transfert de quantité de mouvement, proportionnel
à la vitesse relative (au contraire du régime turbulent, où l'effet
prépondérant est associé à un transfert d'énergie cinétique, proportionnel
au carré de la vitesse). La transition entre les deux se produit lorsque la
vitesse augmente au delà d'une limite caractérisée par le nombre de
Reynolds. Ainsi, l'écoulement envisagé correspond logiquement aux faibles
vitesses, avec un potentiel linéaire en fonction de [pic].
3.b. . La seule façon d'obtenir un potentiel scalaire, linéaire en [pic] et
de dépendance radiale en [pic], consiste à supposer F proportionnel à
[pic].[pic].
3.c. . En présence de pesanteur, l'équation différentielle étant linéaire,
on serait de même amené à ajouter un terme linéaire en [pic], donc
proportionnel à [pic].[pic]. Mais un tel terme décrirait un effet de chute
d'ensemble du fluide, non pertinent si ce dernier est contenu dans un
récipient limité : il apparaît une surpression, conforme à la loi
d'Archimède et compensant la pesanteur (la somme des deux effets a une
influence nulle sur l'écoulement du fluide).
3.d. . La relation [pic].[pic] = [pic].[pic] exprime le fait que la
composante radiale de la vitesse du fluide doit être égale à celle du
solide : à l'avant, la boule pousse le fluide ; à l'arrière, il n'y a pas
d'espace vide entre la boule et le fluide.
? remarque : par contre, les composantes tangentielles ne sont
généralement pas égales ; le fluide peut "glisser" le long de la surface du
solide.
3.e. . La forme obtenue pour le potentiel varie comme cos(q) et est
indépendante de j.
. Or, l'équation angulaire s'écrit : [pic].[pic] = -l.
. En cherchant les solutions sous la forme Y(q, j) = F(q).G(j) on
peut séparer les variables :
[pic].[pic] = -[pic].[pic] = lj.
. Les solutions périodiques de [pic] + lj G = 0 sont de la forme
cos[pic] ou sin[pic] ; mais on obtient ici une indépendance par rapport
à j, ce qui correspond à lj = 0.
. Ceci impose donc [pic] = 0. Cette équation peut être réécrite avec
les notations z = cos(q) et F(q) = P(z) (polynômes de Legendre) : (1 -
z2) [pic] - 2 z [pic] + l P = 0.
. La forme de la solution variant comme cos(q) = z, l'équation se
limite à : - 2 z + l z = 0, c'est à dire l = a.( a + 1) = 2 donc en
pratique a = 1.
3.f. . On considère le potentiel F = b [pic].[pic] = -[pic] [pic].[pic] =
-[pic] u cos(q) ; ceci donne :
[pic] = -[pic](F) = -[pic] u.(2 cos(q) [pic] + sin(q) [pic]).
. À la surface de la boule, la condition : [pic].[pic] = [pic].[pic]
correspond à : -2[pic] u cos(q) = u cos(q) donc b = -[pic].
. D'après [pic] = u cos(q) [pic] - u sin(q) [pic], on obtient
finalement :
[pic] = [pic] u.(2 cos(q) [pic] + sin(q) [pic]) = [pic] [pic].
? remarque : cette expression est analogue à celle du dipôle
électrostatique ; ce n'est pas indépendant du fait que l'avant de la boule
se comporte comme une "source" de liquide (poussé en avant) et que
l'arrière se comporte comme un "puits" de liquide (il s'arrête après avoir
contourné la boule).
4.a. . La relation de Bernoulli peut s'écrire (en négligeant la pesanteur)
: -[pic] + [pic] + [pic] = [pic] (valeur constante, mesurée à l'infini).
4.b. . Le potentiel F est exprimé ci-dessus (selon un repère mobile) en un
point fixe par rapport à la boule. Pour raisonner en notations eulériennes
(en un point fixe par rapport au référentiel), il faut utiliser une dérivée
composée : [pic] = [pic] + [pic].[pic](F).
4.c. . D'après ce qui précède :
F = [pic][pic].[pic] ; [pic] = [pic][pic].[pic] (en un point
fixe par rapport à la boule) ;
[pic] = [pic] - [pic].[pic](F) = [pic][pic].[pic] + [pic].[pic]
(en un point fixe par rapport au référentiel) ;
p = p0 - [pic]ru2 [pic][3 cos2(q) + 1] + r [pic][pic].[pic] + ru2
[pic] [3 cos2(q) - 1] ;
p = p0 + [pic]ru2 [9 cos2(q) - 5] + r [pic] [pic].[pic] (à la
surface de la boule : r = R).
? remarque : dans la dérivation de [pic].[pic] = u cos(q) en un
point fixe, l'angle peut changer sans que [pic] varie, mais parce que l'axe
polaire de direction [pic] varie : [pic].[pic] = [pic] cos(q) - u sin(q)
[pic].
4.d. . La résultante est : [pic] = [pic] avec [pic] = -R2 sin(q) dq dj
[pic] ; l'intégration des termes constants donne forcément une
contribution nulle par symétrie.
. Ainsi : [pic] = -[pic]ru2 R2[pic] - r [pic] [pic].
. Par symétrie, l'intégration sur j donne une contribution nulle
perpendiculairement à l'axe polaire ; le premier terme est donc ainsi nul :
u[pic] = 2p[pic][pic] = [pic].
. Dans le second terme :
u[pic] = 2p[pic][pic] = [pic][pic][pic] ;
[pic] = 2p[pic][pic] = [pic].
. Finalement la force de traînée a pour expression : [pic] = -r
[pic][pic][pic] (dépendant de la projection de [pic] sur la direction de
[pic]).
? remarque : dans ce calcul, on a omis l'