Statistiques : Corrigés de la 1ère séance

Année académique 2001-2002 :
Statistiques : Corrigé de la 1ère séance
Les tableaux de fréquences, les représentations graphiques et les
paramètres de position


Exercice 1.2


a) 1) 0,005182 = 5,182 E-3 ou 5182 E-6
2) 8 250 000 000 = 825 E+7 ou 8,25 E+9
3) 300 000 ( 40 000= (3 E+5) ( (4 E+4)=12 E+9
ou (0,3 E+6) ( (0,4 E+5)= 0,12 E+11
4) 1 200 000 / 30 000= (12 E+5) / (3 E+4) = 4 E+1
ou (1,2 E+6) / (0,3 E+5) = 4 E+1


b) 1) 320 E-6 = 0,00032
2) 5,491 E-5 = 0,00005491
3) 120 E-7 ( 4 E+3 = 480 E-4 ou 4,8 E-2= 0,048
4) 120 E-7 / 4 E+3= 30 E-10 ou 3 E-9 ou 0,3 E-8 = 0,000000003
5) ( 25 E-2 = 5 E-1= 0,5
N.B. :D'autres transformations sont possibles. Le tout est de toujours
garder les mêmes unités (pour ne pas additionner des millions avec des
milliers, par exemple). A vous de choisir votre convention si les
consignes de l'exercice/examen ne le précisent pas.


c) Degré limité de précision
Rappel des règles d'action :
i. Le résultat ne peut-être plus précis que les données originales.
ii. Pour les additions et les soustractions :
Le résultat final ne peut avoir plus de chiffres significatifs (après la
virgule) que n'en a le nombre qui, dans l'opération, possède le moins de
chiffres significatifs (après la virgule).
iii. Pour les multiplications, divisions, extractions de racines, etc :
Le résultat final ne peut posséder plus de chiffres significatifs au total
que le nombre qui, dans l'opération, a le moins de chiffres significatifs.
iv. Arrondir vers le haut pour les chiffres de 5 à 9 et vers le bas pour
les chiffres de 1 à 4.

1) 423,12 + 125,318 = 548,44 (on arrondit à la réponse finale ! ! !)
2) 15,55 / 3,8 = 4,1

d) 1) 4 chiffres significatifs
2) 4 ou 5 chiffres significatifs
3) 3 ou 4 chiffres significatifs
4) 4 chiffres significatifs
5) 1 chiffre significatif
6) 1 chiffre significatif
7) 3 ou 4 chiffres significatifs



Exercice 1.7


La variable traitée est une variable qualitative.
L'échelle de mesure de cette variable est ordinale (il est possible
d'établir un classement entre les différentes modalités).

a) Tableau de fréquences
|x = appréciation de la|Fi |fi |C(xi) |c(xi) |
|peinture abstraite | | | | |
|x1= horrible |60 |0,24 |60 |0,24 |
|x2= laid |40 |0,16 |100 |0,40 |
|x3= beau |80 |0,32 |180 |0,72 |
|x4= très beau |20 |0,08 |200 |0,80 |
|x5= magnifique |50 |0,20 |250 |1 |
|Total |250 |1 |-----------|-----------|
| | | |------ |------ |

N.B. : les fréquences peuvent bien sûr être exprimées en pourcentage.

b) Histogramme de la distribution de fréquences

Diagramme différentiel des fréquences


c) De façon analytique :
Le nombre d'élèves qui ont trouvé l'art abstrait au moins beau :
N - C(x2) = 250-100 = 150
De façon graphique (diagramme intégral ou ogive de Galton)
d) N - C(x1) = 250-60 = 190

Exercice 1.9



La variable traitée est une variable quantitative discrète.


L'échelle de mesure est proportionnelle.


a) Polygone de fréquences


b) L'allure du polygone de fréquences est assez « tourmentée ». Cette
allure pourrait être atténuée en répartissant les données en classes.
Avantage : La répartition en classes permet de régulariser les courbes
en compensant les irrégularités locales. Le phénomène étudié peut
alors être mieux visualisé. L'information est peut-être moins
détaillée mais l'analyse en est certainement plus aisée.

c) Il existe deux façons de procéder pour regrouper les observations en
classes. Nous présenterons ici l'approche anglo-saxonne.


A. Les observations sont déjà triées par ordre croissant
B. Etendue E = xmax - xmin
= 23-0 = 23
C. Nombre de classes k
Par exemple k=5 (choix arbitraire)
D. Amplitude : a= E/k = 23/5 = 4,6 ; on arrondit à l'unité afin de
faciliter la lecture graphique (l(k=5(5=25=E'). Attention ! ne jamais
arrondir vers le bas ce qui créerait une nouvelle étendue trop
petite! ! !
E. On fixe les bornes des intervalles de classe
F. On détermine les centres de classes



Remarques sur l'approche anglo-saxonne :


xj ( (ej-1, ej ) si ej-1( xj ( ej


Avec la précision des données, xmax = 23,5
Si on veut terminer les classes à 23,5, cela nous force à les commencer à
-1,5 (car nous avons décidé de faire 5 classes d'intervalle 5). Il s'agit
ici de nombres de concerts donnés au cours d'une année, un nombre négatif
n'a donc aucun sens ! ! !.
Nous commencerons donc les classes à 0 et les terminerons à 25.
Attention : Malgré la convention anglo-saxonne, la modalité 0 est incluse
dans la première classe. Si elle n'était pas incluse, nous aurions dû
faire une classe supplémentaire -5 ( x ( 0, ce qui, à nouveau, n'a ici
aucun sens ( pas de nombre de concert négatif !).


|Classes |Centres de |Fj |C(xj) |
| |classes (cj) | | |
|0 ( x ( 5 |2.5 |22 |22 |
|5 ( x ( 10 |7,5 |23 |45 |
|10 ( x ( 15 |12,5 |24 |69 |
|15 ( x ( 20 |17,5 |19 |88 |
|20 ( x ( 25 |22,5 |7 |95 |
|Total | |95 | |


Représentation graphique


On utilise ici les effectifs rectifiés : Fj/aj (on pourrait également
travailler avec les fréquences rectifiées).




Si on calcule l'aire de nos différents bâtonnets, on retrouve bien nos
effectifs (exemple pour le 1er bâtonnet : base ( hauteur : 5 ( 4,4 = 22 !





Exercice 1.21


La variable traité est une variable quantitative continue.
L'échelle de mesure est proportionnelle.


a) Tableau des fréquences


|Classe |cj |Fj |xj Fj |cj -x |(cj -x) |
| | | | | |Fj |
|50( x(60 |55 |8 |440 |-24,7692 |-198,1538|
|60( x(70 |65 |10 |650 |-14,7692 |-147,6923|
|70( x(80 |75 |16 |1200 |-4,7692 |-76,3077 |
|80( x(90 |85 |14 |1190 |5,2308 |73,2308 |
|90( x(100|95 |10 |950 |15,2308 |152,3077 |
|100( |105 |5 |525 |25,2308 |126,1538 |
|x(110 | | | | | |
|110( |115 |2 |230 |35,2308 |70,4615 |
|x(120 | | | | | |
|Total | |65 |5185 | |0 |


Moyenne arithmétique :

80 en respectant la précision des données (seulement au final !).
> Le salaire journalier brut moyen dans cette société s'élève donc à 80
unités monétaires.


La somme des écarts par rapport à la moyenne vaut 0 (voir 6èmecolonne).
Pour démontrer cette affirmation, il suffit de calculer les écarts entre
les centres de classes et la moyenne (voir colonne 5), de multiplier ces
écarts par Fj (afin de pondérer nos écarts !) (voir colonne 6) et enfin,
de faire la somme des résultats.
Retenons : les écarts en plus ou en moins observés entre les valeurs de
la série et la moyenne se compensent exactement.


b) Mode :

La variable étant quantitative continue :
1. on détermine la classe modale ( 70 ( x ( 80 (car Fmo est l'effectif
maximal);
2. on calcule le mode par interpolation linéaire ( xmo= emo-1 + ((1 / (1
+ (2) amo


où emo-1= borne inférieure de la classe modale
(1 = différence entre l'effectif rectifié de la classe modale et
l'effectif rectifié de la classe précédant la classe modale
(2 = différence entre l'effectif rectifié de la classe modale et
l'effectif rectifié de la classe suivant la classe modale
amo= amplitude de la classe modale


xmo= 70 + (0.6/0.6+0.2).10 = 77,5000 (78 en respectant la précision des
données).


> Le salaire journalier brut le plus fréquemment observé dans cette
société s'élève à 78 unités monétaires.

Médiane :

La variable étant quantitative continue :
1. on détermine la classe dans laquelle se trouve la médiane ( 70 ( x (
80 (car c'est dans cette classe que se trouve la 33ème observation) ;
2. on calcule la médiane par interpolation linéaire (


où eme-1 = borne inférieure de la médiane
C(xme-1)= effectif cumulé de la classe précédant la classe médiane
Fme = effectif de la classe médiane
ame = amplitude de la classe médiane


xme = 70+((32,5-18)/16).10= 79,0625 (79 en respectant la précision des
données).


> 50% des employés de la société ont un salaire inférieur ou égal à 79
unités monétaires.


Pour montrer clairement où se situe le mode sur un graphique : diagramme
différentiel
Pour la médiane : diagramme intégral


c) Les paramètres de position centrale ne sont pas identiques. La fonction
est donc légèrement asymétrique (asymétrie à gauche).


d) Asymétrie à gauche car mode(médiane(moyenne
en effet :77,5000(79,0625(79,7692
La médiane est toujours comprise entre le mode et la moyenne. Si le mode
est inférieur à la médiane, on parle d'asymétrie à gauche. Si c'est la
moyenne qui est inférieure à la médiane, on parle d'asymétrie à droite.



Exercice 1.25


La variable traitée est une variable quantitative continue.
L'échelle de mesure est proportionnelle.


a) Tableau des fréquences


|Classe |xj |Fj |xj Fj |C(xj) |
|-10000( x(