Bac maths S 1999 - Polynésie - Descartes et les Mathématiques

POLYNÉSIE Exercices : probabilité, complexe, arithmétique - Problème : fonction
exponentielle. Annales bac S non corrigées : http://debart.pagesperso-orange.fr/ts
Document Word : http://www.debart.fr/doc/bac_1999/bac_s_polynesie_1999.doc BACCALAURÉAT GÉNÉRAL Session 1999
Épreuve : MATHÉMATIQUES
Série : S Durée : 4 heures Coef. : 7 ou 9 OBLIGATOIRE et SPÉCIALITÉ L'utilisation d'une calculatrice est autorisée. Le candidat doit traiter les DEUX exercices et le problème. La qualité de
la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour
une part importante dans l'appréciation des copies.
Le formulaire officiel de mathématiques, prévu par l'arrêté du 27 mars
1991, et deux feuilles de papier millimétré sont joints au sujet.
Dès que le sujet vous est remis, assurez-vous qu'il est complet.
Ce sujet comporte 4 pages numérotées de 1 à 4.
EXERCICE 1 (5 points) commun à tous les candidats
Une urne contient 5 boules noires et 5 boules blanches. On en prélève n
successivement et avec remise, n étant un entier naturel supérieur ou égal
à 2. On considère les deux événements suivants :
A : " On obtient des boules des deux couleurs " ;
B : " On obtient au plus une blanche ". 1. a) Calculer la probabilité de l'événement : " Toutes les boules tirées
sont de même couleur ". (0,5 point)
b) Calculer la probabilité de l'événement : " On obtient exactement une
boule blanche ". (0,5 point)
c) En déduire que les probabilités p(A ( B), p(A), p(B) sont :
p(A ( B) = [pic], p(A) = 1 - [pic], p(B) = [pic]. (1,25 point)
2. Montrer que p(A ( B) = p(A) ( p(B) si, et seulement si,
2n - 1 = n + 1. (1 point)
3. Soit (un) la suite définie, pour tout n entier naturel supérieur ou égal
à deux, par
un = 2 n - 1 - (n + 1).
Calculer u2, u3, u4. (0,25 point)
Démontrer que la suite (un) est strictement croissante. (0,5 point)
4. En déduire la valeur de l'entier n tel que les événements A et B soient
indépendants.
(1 point)
EXERCICE 2 (4 points) Arithmétique pour l'enseignement de spécialité 1. Démontrer que, pour tout entier naturel n : 23n - 1 est un multiple de 7
(on pourra utiliser un raisonnement par récurrence). (0,75 point)
En déduire que 23n + 1 - 2 est un multiple de 7 et que 23n + 2 - 4 est un
multiple de 7.
(1 point)
2. Déterminer les restes de la division par 7 des puissances de 2. (0,5
point)
3. Le nombre p étant un entier naturel, on considère le nombre entier
Ap = 2p + 22p + 23p.
a) Si p = 3n, quel est le reste de la division de Ap par 7 ? (0,25 point)
b) Démontrer que si p = 3n + 1 alors Ap est divisible par 7. (0,25 point)
c) Étudier le cas où p = 3n + 2. (0,5 point)
4. On considère les nombres entiers a et b écrits dans le système binaire :
[pic] [pic].
Vérifier que ces deux nombres sont des nombres de la forme Ap. (0,5
point)
Sont-ils divisibles par 7 ? (0,25 point)
EXERCICE 2 (4 points) candidats n'ayant que l'enseignement obligatoire
Le plan complexe (P) est rapporté à un repère orthonormal direct (O ;
[pic], [pic]) d'unité graphique 2 cm.
1. Résoudre, dans C, l'équation (E) : z3 - 8 = 0. (0,5 point)
2. On considère dans le plan (P) les points A, B et C d'affixes respectives
:
zA = - 1 + i[pic], zB = 2 et zC = - 1 - i[pic].
a) Écrire zA et zC sous la forme trigonométrique. (0,5 + 0,5 point)
b) Placer les points A, B et C. (0,5 point)
c) Déterminer la nature du triangle ABC. (0,5 point)
3. On considère l'application f du plan dans lui-même qui, à tout point M
d'affixe z, associe le point M´ d'affixe z´ telle que : [pic].
a) Caractériser géométriquement l'application f. (0,5 point)
b) Déterminer les images des points A et C par f. (0,5 point)
En déduire l'image de la droite (AC) par f. (0,5 point)
PROBLÈME (11 points) commun à tous les candidats
Partie A
Soit f la fonction définie sur R par : f (x) = x - e2x -2.
On note (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O ;
[pic] ,[pic]). On prendra 5 cm comme unité.
1. a) Déterminer la limite de f en -?. (0,5 point)
b) Vérifier que, pour tout réel x non nul : f (x) = [pic]. (0,25 point)
Déterminer la limite de f en +?. (0,5 point)
2. Déterminer f ´. Étudier le signe de f ´(x) et calculer la valeur exacte
du maximum de f. (0,25 + 0,5 + 0,25 point)
3. Démontrer que la droite (D) d'équation y = x est asymptote à la courbe
(C).
(0,5 point)
Étudier la position relative de (C) et (D). (0,5 point)
4. On note A le point de la courbe (C) d'abscisse 1.
Déterminer une équation de la tangente (T) en A à la courbe (C). (0,5
point)
5. a) On note I l'intervalle [0 ; 0,5].
Démontrer que l'équation f (x) = 0 admet dans l'intervalle I une unique
solution qu'on notera a. (0,5 point)
b) Déterminer une valeur approchée à 10 -1 près de a. (0,25 point)
6. Construire la courbe (C), l'asymptote (D) et la tangente (T). (0,5
point)
Partie B
Détermination d'une valeur approchée de a
On définit dans R la suite (un) par : [pic]
1. Soit g la fonction définie sur R par g(x) = e2x - 2.
Démontrer que l'équation f (x) = 0 est équivalente à g(x) = x.
En déduire g(a). (0,75 point)
2. Démontrer que, pour tout réel x de l'intervalle I, on a :
[pic]. (0,5 point)
3. Démontrer que, pour tout réel x de l'intervalle I, g(x) appartient à I.
(0,5 point) 4. Utiliser l'inégalité des accroissements finis pour démontrer que, pour
tout entier naturel n :
[pic]. (0,75 point) 5. Démontrer, par récurrence, que : [pic]. (0,75 point) 6. En déduire que la suite (un) converge et donner sa limite. (0,75
point) 7. Déterminer un entier naturel p tel que : (up - a( < 10-5. (1 point) 8. En déduire une valeur approchée de a à 10-5 près : on expliquera
l'algorithme utilisé sur la calculatrice. (1 point)