Les aires - Maths à Harry

Développements A) Suppression de parenthèses : ( Quand une paire de parenthèses est précédée par un "+" (et n'est pas
suivie par un (, un ( ou une puissance), cela revient à ajouter tous les
termes situés dans cette parenthèse. Exemple : 3 + ( 5 - 4 ) = 3 + 5 + (-4) = 3 + 5 - 4 =
8 - 4 = 4 ( Quand une paire de parenthèses est précédée par un "-"(et n'est pas
suivie par un (, un ( ou une puissance), cela revient à retrancher tous les
termes compris dans cette parenthèse. Exemple : 3 - ( 5 - 4 ) = 3 - 5 - (-4) = 3 - 5 + 4
= -2 + 4 = 2 ( Exemple : ( 7 - 4 ) + ( 5 - 3 ) - ( -2 - 3 + 5 ) = + ( 7 - 4 ) + ( 5 - 3
) - ( -2 - 3 + 5 ) = + 7 + (-4) + 5 + (-3) - (-2) - (-3) - (+5) = ...7 ... 4 ... 5 ... 3 ...
2 ... 3 ... 5 = ..... ( Exercices : Simplifier : 1) - (2a - b) + (a - 2b) ; 2) (-a + 3c) +
(a - 2c) - (-a + c) ;
3) - (a - 2b + c) + (3c - a + 5b) - (-a - b - c) ; 4) -(a² - 3a + 5) +
(2a + 3a²) - (6 - a²). Correction : 1) -a-b ; 2) a ; 3) -a+8b+3c ; 4) 3a²+5a-11. B) Distributivité : (S'applique lorsqu'une parenthèse est précédée ou
suivie par un "(") ( 1er exemple : 3 ( (2x - 3) signifie que 3 multiplie tous les termes
compris dans la parenthèse. Donc (2x - 3) = 3 ( (2x) + 3 ( (-3) = ......... - .......... ( 2ème exemple : ( 2x - 5 )( -3x + 2 ) signifie que tous les termes de la
première parenthèse multiplient tous les termes de la deuxième parenthèse.
Donc ( 2x - 5 ) ( -3x + 2 ) = (2x) ( (-3x) + (2x) ( (.....) + (-5) (
(-3x) + (.....) ( (..)
= ... 6x2 ... 4x ... 15x ...10 = ........................... ( Exercices : Utiliser la distributivité puis simplifier : 1) 4( 3a - 2 ) ; 2) -5( 3x - 4 ) ; 3) 3x ( -2x + 5 ) ; 4) -2a(
3 - 4a) ; 5) a2 (a3 + a4) ;
6) ( 3x - 2 )( -2x + 4 ) ; 7) (-2x - 3 )( 3 - 5x ) ; 8) (a2 + a3)(a2 -
a3) ; 9) ( a - 3 )( a + 4 ). Correction : 1) 12a - 8 ; 2) -15x + 20 ; 3) -6x2 + 15x ; 4) -6a + 8a2 ;
5) a5 + a6 ;
6) -6x2 + 16x - 8 ; 7) 10x2 + 9x - 9 ; 8) a4 - a6 ; 9) a2 - 12. C) Mélange "Distributivité - Suppression de parenthèses" : ( Exemple : ( 2x - 3 )( 4x + 5 ) - ( 3x - 2 )( x + 8 ) Puisque les multiplications sont prioritaires sur la soustraction, on
commence par utiliser la distributivité. = (.... x2 + .... x - .... x - ....) - ( .... x2 + .... x - .... x - .... ) Puis on utilise la suppression de parenthèses. = ...8x2 ... 10x ... 12x ...15 ...3x2 ...24x ...2x ...16 = .......x2
.......x ......... ( Exercices : Simplifier les expressions suivantes : 1) 2(a+b) + 3(a-b) ; 2) (a+b)(2a-b) + (a-b)(a-2b) ; 3) (a+b)(2a-b)-(a-
b)(a-2b) ; 4) -(a+b)(2a-b) + (a-b)(a-2b) ; 5) -(a+b)(2a-b) - (a-b)(a-2b) ; 6) (2x-
3)(3x+2) - (2x-5)(x+1). Correction : 1) 5a - b ; 2) 3a2 - 2ab + b2 ; 3) a2 + 4ab - 3b2 ; 4) -a2
- 4ab + 3b2 ; 5) -3a2 + 2ab - b2 ; 6) 4x2 - 2x - 1. D) Les pièges de la distributivité : ( (a+b)2 a2 + b2 !!! Si par exemple on vous demande de calculer (x + 5)2, ne répondez pas x2 +
25 ! (x + 5)2 = (x + 5)(x + 5) = ....... + ....... + ....... + ....... = .......
+ ....... + ....... ( Exemple : On veut calculer 3(2x - 3)(3x + 4). Il faut commencer par
multiplier 2 des facteurs, et multiplier le résultat obtenu par le
troisième facteur. 3(2x - 3)(3x + 4) = (............)(3x + 4) = .....x2 + .....x - .....x -
..... = ......x2 ... .....x ... ...... ( Exercices : Utiliser la distributivité puis simplifier :
1) (a + 1)2 ; 2) (b - 2)2 ; 3) (2x + 5)2 ; 4) (x + 4)2 ; 5) (2x
+ 5)2 + (3x - 1)(2x + 4) ;
6) (5x + 2)(6x - 3) - (4x - 1)2 ; 7) 2(2x - 4)(3x + 2) ; 8) (x + 2)(3x
- 1) + 5(x - 4)(2x + 3) ; 9) 4(2x + 1)2 ; 10) 3(5x - 2)(x + 4) - (3x + 5)2 . Correction: 1) a2 + 2a + 1 ; 2) b2 - 4b + 4 ; 3) 4x2 + 20x + 25 ; 4)
x2 + 4x + 16 ;
5) 10x2 + 30x + 21 ; 6) 14x2 + 5x - 7 ; 7) 12x2 - 16x - 16 ; 8)
13x2 - 20x - 62 ; 9) 16x2 + 16x + 4 ; 10) 6x2 + 24x - 49.
Factorisations A) Le principe de la factorisation : La factorisation est l'opération "inverse" du développement (utilisation de
la distributivité).
Exemple :
2 ( ( a + b ) = 2a + 2b ( Dans l'exemple, on dit que 2 est le "facteur commun". En effet, 2a (ce
qui signifie 2 ( a) est le produit de deux facteurs qui sont et . 2b est
le produit de deux facteurs qui sont ...... et ...... . Le seul facteur qui
soit commun à 2a et 2b est ..... .
( Remarque : Si par exemple on veut factoriser , on peut écrire :
2 ( (........ + ........) ou 4 ( (........ + ........) ou 4x ( (........ +
........).
La bonne réponse est 4x ( (........ + ........) car on essaie toujours
d'avoir le facteur commun le plus grand possible.
( Exemples simples : Factoriser :
1) 3x + 3y ; 2) 3x + 6y ; 3) 3x + 3 ; 4) 3x + x2 ; 5) 4x + 8y ; 6) x2
+ x3 ; 7) 4x2 + 6x3 ;
8) 6x - 9 ; 9) 16x2 + 24x5 ; 10) 24ab2 + 16a2b2 - 12a2b . Correction : 1) 3(x+y) ; 2) 3(x+2y) ; 3) 3(x+1) ; 4) x(3+x) ; 5)
4(x+2y) ; 6) x2(1+x) ;
7) 2x2(2+3x) ; 8) 3(2x-3) ; 9) 8x2(2 + 3x3) ; 10) 4ab(6b+2ab-3a). B) Cas ou le facteur commun est une parenthèse : ( Exemple 1 : Si on écrit (2x + 3) [ (3x + 2) + (2x + 3) ], cela signifie
que (2x + 3) multiplie tout ce qu'il y a dans le crochet, donc si on
développe : (2x + 3)[ (3x + 2) - (2x + 3) ] = (2x + 3)(3x + 2) - (2x + 3)(2x + 3) = (2x
+ 3)(3x + 2) - (2x + 3)2 Puisque la factorisation est l'opération inverse du développement, si on
vous demande de factoriser (2x+3)(3x+2) - (2x+3)2, on écrira :
(3x+2) - (2x+3) = [(3x+2)-(2x+3)]
Théoriquement, ça suffit... Mais prenez l'habitude de toujours simplifier
ce qu'il y a dans le crochet. Donc écrivez : (2x+3)[3x+2-2x-3] =
(2x+3)(................) ( Exemple 2 : On veut factoriser -3( 2x - 1 )2 + 5( 3x + 2)( 2x - 1 ).
Cela signifie en fait : -3( 2x - 1 ) + 5( 3x + 2 ) et le facteur commun
est .................. . Donc cela vaut (2x - 1)[-3(2x - 1) + 5(3x+2)]
(vous remarquerez qu'il suffit de recopier dans le crochet tout ce qui
n'est pas le facteur commun). Il ne reste plus qu'à simplifier l'intérieur
du crochet, et on obtient : (2x - 1)[-6x + .... + ........ + .......] = (2x - 1)[...................]
( Exercices : Factoriser les expressions suivantes :
1) a(a+1)+b(a+1) ; 2) (x+2)(x+1)+(x+1)(2-x) ; 3) (x+2)(3+x)-
(3+x)(2-x) ;
4) (2x-5)(x+3) - (x-1)(x+3) ; 5) 2(a-3)+(a-2)(a-3) ; 6) (b-
2)2 + (b-2)(b-5) ;
7) (a-3)2 -(a+1)(a-3) ; 8) (2b+1)(b+3) + (2b+1)2 ; 9) (a-
5)(2a+1)-(a-5)2. Correction : 1) (a+1)(a+b) ; 2) 4(x+1) ; 3) 2x(3+x) ; 4) (x+3)(x-4) ;
5) a(a-3) ;
6) (b-2)(2b-7) ; 7) -4(a-3) ; 8) (2b+1)(3b+4) ; 9) (a-5)(a+6) . C) Factoriser avec l'identité remarquable : a2- b2= ( a + b )( a - b ) Factoriser signifie "Écrire sous la forme d'un produit (sous entendu : de
facteurs)"
Considérons par exemple l'expression : x2 - 25. Ce n'est pas un produit,
mais une différence.
Pour factoriser x2 - 25, il faut remarquer que x2 - 25 = x2 - 52 a2 - b2 = ( a + b )( a - b )
x2 - 52 = (...+...)(...-...) Donc la forme factorisée de x2 - 25 est : (...+...)(...-...) (c'est bien un
produit !) . ( Exercices : Factoriser : 1) x2 - 16 ; 2) 49 - x2 ; 3) 4x2 - 64 ; 4)
16x2 - 25y2 ; 5) x2 - 7 .
Correction : 1) (x-4)(x+4) ; 2) (7-x)(7+x) ; 3) (2x-8)(2x+8) ; 4) (4x-
5y)(4x+5y) ; 5) (x-)(x+) ( Dans l'identité a2 - b2 = (a + b)(a - b), "a" ou "b" peut être une
parenthèse ! Exemple 1 : (2x+3)2 - 25 = (2x+3)2 - 52 = ((........)+.....)((........)-
.....) = (...........)(...........)
a2 - b2 = ( a + b )( a
- b ) a2 - b2 = [ a + b
][ a - b ]
Exemple 2 : (4x+3)2 - (5x-4)2 = [(.........)+(..........)][(..........)-
(..........)]
=
[.........................][.........................]
=
(..................)(..................) ( Exercices : Factoriser: 1) (4x-5)2 - 16 ; 2) 25 - (2x-3)2 ; 3) (x
+ 5)2 - (3x + 2 )2 ;
4) 4x2 - (5x + 7)2 ; 5) ( 3x - 4 )2 - 16x2 ; 6) (3x - 7)2 - (3x + 7)2
; 7) 64x2 - (x - 5 )2;
8) 25x2 - 144 ; 9) (3 - 2x)2 - (7x - 4)2 ; 10) (8x - )2 - 3 ; Correction : 1) (4x - 9)(4x - 1) ; 2) (8 - 2x)(2 + 2x) ; 3) (-2x + 3)(4x
+ 7) ; 4) (-3x - 7)(7x + 7) ;
5) (-x - 4)(7x - 4) ; 6) -14 ( 6x ou -84x ; 7) (7x + 5)(9x - 5) ; 8) (5x
- 12)(5x + 12) ;
9) (7 - 9x)(5x - 1) ; 10) (8x - 2)(8x . D) Une dernière subtilité : Si par exemple on veut factoriser (2x - 5)(3x + 2) - (8x - 3)(2x - 5) , on
obtient :
(2x - 5)[(...........) - (............)] = (2x -
5)[...........................] = (2x - 5)(-5x + 5).
Si vous écrivez cela le jour du brevet, vous perdrez au moins 0,5 point car
on peut encore factoriser. En effet, (-5x + 5) peut se factoriser sous la
forme , donc on attend de vous que vous répondiez : (2x - 5)5(-x + 1), ou
encore mieux 5(2x-5)(-x+1). ( Exercices : Factoriser : 1) (3x + 2)(4x - 5) + (3x + 2)(5x - 4) ; 2) (4x
- 7)2 - (2x - 3)2
Correction : 1) 9(3x+2)(x-1) ; 2) Vous devez trouver au début (2x - 4)(6x
- 10).
Mais (2x - 4) = 2(x - 2) et (6x - 10) = 2(3x - 5). Donc il faut répondre
2(x-2)2(3x - 5) ou mieux encore 4(x-2)(3x-5).
----------------------- facteur commun Factorisation Développement (signe "+" sous entendu...)