Théorèmes et principes généraux de résolution des ... - site mach elec

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Théorèmes et principes généraux de résolution des circuits


Ce chapitre est consacré à l'étude des principes, lois et théorèmes qui
permettent de déterminer les inconnues d'un réseau électrique, intensité
des courants électriques dans ses branches ou tensions aux bornes de ses
éléments constitutifs.


Définitions générales


Un réseau électrique est un ensemble de générateurs, récepteurs et
résistances reliées entre eux et constituant un circuit fermé.
Un n?ud est un point où se rejoignent au moins trois conducteurs.
Une branche est l'ensemble des éléments situés entre deux n?uds.
Une maille est un contour fermé constitué par un certain nombre de
branches.



Exemple :
[pic]

Figure 1






Le schéma de la Figure 1 comporte 4 n?uds : ; 6 branches indiquées par
les carrés numérotés ;
et 7 mailles :



[pic]




Loi de Kirchhoff

Les lois de Kirchhoff permettent d'écrire les équations permettant de
calculer les courants dans les branches d'un circuit.

Première loi : loi des n?uds


La loi des n?uds exprime le fait que les charges électriques qui parcourent
les conducteurs d'un réseau électrique ne peuvent pas s'accumuler dans les
diverses connexions (n?uds) du réseau. Seul les condensateurs possèdent
cette propriété de pouvoir emmagasiner des charges électriques.
Ainsi, la charge électrique qui arrive à un n?ud à un instant t est égale à
la charge qui part de ce n?ud au même instant. Cette égalité entraîne
l'égalité entre le débit de charge électrique qui arrive au n?ud et celui
qui quitte le n?ud à chaque instant.

[pic]

exemple :
[pic]

Figure 2


On peut affecter un signe aux différents courants, par exemple + pour les
intensités qui se dirigent vers le n?ud, - sinon et exprimer la loi des
n?uds sous la forme : [pic]

Deuxième loi : loi des mailles


La loi des mailles exprime le fait que la d.d.p. entre deux points voisins
d'un conducteur sans résistance est nulle, que l'on calcule cette d.d.p.
sur le chemin le plus court ou bien en sommant les diverses d.d.p. le long
d'une maille plus longue reliant ces deux points. Ceci est illustré par la
Figure 3.






















Figure 3


La somme algébrique des d.d.p. le long d'une maille est nulle.

On procède de la manière suivante pour écrire cette loi :

. On choisi le sens du courant dans chacune des branches de la maille,
sens dicté par le sens physique soit par le hasard s'il est impossible
de le deviner (sens du courant = flèche);
. aux bornes des différents dipôles, on place les flèches de d.d.p.
(employer une couleur différente de celle du courant si possible) ;
. on choisit arbitrairement un sens de parcours sur cette maille (sens
trigonométrique ou sens des aiguilles d'une montre) ;
. on choisit arbitrairement un point de départ sur la maille ;
. on effectue la somme algébrique de toutes les d.d.p. rencontrées en
les affectant d'un signe + si elle sont dans le sens de progression, -
sinon ;
. on arrête une fois revenu au point de départ et on écrit que cette
somme est nulle.

Il peut être souhaitable d'employer de la couleur pour les différentes
flèches, surtout si le schéma est complexe. Je recommande du vert ou du
jaune pour les intensités et du rouge pour les d.d.p.



Exemple :
[pic]

Figure 4

On obtient ici :
E4 - R4I4 - E1 + R1I1 + E2 -R2I2 - E3 + R3I3 = 0

Si on avait choisi le sens trigonométrique comme sens positif de parcourt,
on aurait trouvé des d.d.p. de signe opposé ce qui donne la même équation :

- E4 + R4I4 + E1 - R1I1 - E2 + R2I2 + E3 - R3I3 = - 0 = 0 ( E4 - R4I4 - E1
+ R1I1 + E2 -R2I2 - E3 + R3I3 = 0




Mise en équation

Le réseau étudié sera éventuellement transformé de manière à ne comporter
que des sources de tension.
Le réseau étudié comporte n branches ce qui donnent n inconnues : les
intensités de chaque branche.
On écrit dans un premier temps les équations de n?uds. Si le réseau
comporte m n?uds indépendants, on pourra écrire m - 1 équations de n?uds
indépendantes.
Il restera ensuite à compléter ces équations par n - (m - 1) équations de
maille de manière à former un système de n équations à n inconnues. Afin
que les équations de maille soient indépendantes, il y a lieu de les
construire en considérant des branches appartenant à deux mailles au plus.
Exemple :
Déterminons les intensités de chaque branche du schéma de la Figure 5













Figure 5


Le réseau de la Figure 5 comporte 3 branches, 2 n?uds et 3 mailles.
On écrira tout d'abord 2 - 1 équations de n?uds. Pour ce faire, il faut
tout d'abord représenter les intensités dans les branches en dessinant une
flèche. Nous la placerons dans le sens qui nous apparaîtra comme le plus
probable, en sachant qu'en cas d'erreur de sens, le calcul nous donnera une
intensité négative.













Figure 6



Le n?ud supérieur de la Figure 6 donne :
I1 + I3 = I2

Il reste à écrire 2 équations de maille de manière à former un système de 3
équations à 3 inconnus.














Figure 7




Maille : [pic]

Maille : [pic]

On obtient donc le système :

[pic]

La résolution « à la main » ne pose pas de problème particulier tant que
l'on a affaire à des systèmes 3x3 au maximum. A partir des systèmes 4x4, il
est souhaitable d'utiliser des calculatrices permettant d'effectuer des
opérations sur les matrices ou des logiciels de calcul (Mathematica,
Mapple, Mathcad, Matlab ou autres).

[pic]

[pic]


Principe de superposition


Le principe de superposition tient dans la définition suivante :
Soit E et F deux espaces vectoriels sur le même corps K. E ( F est une
application linéaire si [pic]
Les dipôles que nous considérons dans ce traité d'« électricité linéaire »
sont linéaires. Aussi, si nous multiplions la d.d.p. d'une source de
tension ou le débit d'une source de courant par n, les effets seront
multipliés par n. L'effet du à une « cause comprenant m générateur » est la
somme des effets lorsque chaque générateur est présent seul. De manière
plus explicite :

La d.d.p. aux bornes d'un élément dans un réseau comportant des sources (de
tension ou de courant, indépendantes ou liées) est la somme des d.d.p. dues
à chacune des sources indépendantes, agissant séparément.

L'intensité du courant électrique dans une branche quelconque d'un réseau
comportant des sources (de tension ou de courant, indépendantes ou liées)
est la somme des courants dus à chacune des sources indépendantes, agissant
séparément.

En pratique, on « éteint » toutes les sources sauf une, on effectue le
calcul de la d.d.p. ou de l'intensité et on recommence jusqu'à avoir obtenu
la contribution de chacune des sources. Il ne reste plus, ensuite, qu'à en
effectuer la somme algébrique. Attention : les sources liées ne s'éteignent
pas.

Eteindre une source consiste à la remplacer par sa résistance interne.
Ainsi, une source idéale de tension, de résistance interne nulle, est
remplacée par un fil. Une source idéale de courant, de résistance interne
infinie, sera remplacée par u