3.Logique des prédicats : formes normales - IA

LOGIQUE DES PREDICATS Logique des predicats
Motivations Comment exprimer les phrases suivantes en logique des propositions ?
< Marcus etait Pompéien.
< Tous les Pompéiens etaient Romains.
< Tous les Romains étaient soit loyaux envers César soit ils le haïssaient.
< Les gens tentent d'assassiner uniquement les souverains envers lesquels
ils ne sont pas loyaux.
La logique des propositions est bien trop limitée pour décrire des
situations réelles. Elle ne peut pas par exemple exprimer le fait qu'une
propriété est vraie pour un ensemble d'objets ou d'individus : « l'homme
est mortel ». Syntaxe
Language < Définition (alphabet). L'alphabet de la logique des prédicats est
constitué de :
< un ensemble dénombrable de symboles de prédicats à 0, 1, ou
plusieurs arguments, notés p, q, r, ..., homme, mortel, père, ...
< un ensemble dénombrable de variables d'objets (ou variables
d'individu), notées x, y, z, x1, x2, ...
< un ensemble dénombrable de fonctions à 0, 1, ou plusieurs arguments,
notées f, g, ... , père-de, ...
< les quantificateurs
< les connecteurs ainsi que les parenthèses de la logique
propositionnelle
Les fonctions à 0 arguments sont appelées constantes (souvent notées a, b,
..., Socrate, ...). Les prédicats à 0 arguments ne sont rien d'autre que
des variables propositionnelles.
< Définition (terme). L'ensemble des termes est le plus petit ensemble de
mots construits sur l'alphabet de la logique des prédicats tel que :
< toute variable est un terme
< f(t1,...,tn) est un terme si f est une fonction à n arguments et
t1,...,tn sont des termes
< Définition (formule). Si p est un prédicat à n arguments et t1,...,tn
sont des termes alors p(t1,...,tn) est une formule atomique.
L'ensemble des formules (ou formules bien formées) de la logique des
prédicats est alors défini de la même manière qu'en logique
propositionnelle, en rajoutant une clause pour les quantificateurs :
(Q x A) est une formule si Q est un quantificateur, x une variable
et A une formule
Une expression est un terme ou une formule.
Définition plus explicite des formules
Définition. L'ensemble des formules (ou formules bien formées) de la
logique des prédicats est le plus petit ensemble de mots construits sur
l'alphabet tel que
< si p est un prédicat à n arguments et t1,...,tn sont des termes
alors p(t1,...,tn) est une formule (aussi appellé formule atomique)
< (Q x A) est une formule si A est une formule, Q un quantificateur et
x une variable
< FALSE est une formule
< (~A) est une formule si A est une formule
< (A & B), (A v B), (A -> B) sont des formules si A et B sont des
formules Quantificateurs
Existentiel < Forme générale : $ð ð
< Exemple : « Il y a quelqu'un de bizarre dans l'amphi » : $ð ðx est-
dans(x, amphi) ^ bizarre (x)
< $ x P(x) est équivalent à la disjonction d'instanciations de P.
< exemple : domaine fini de 2 individus Marco et Paula, $ðx,
heureux(x) est équivalent à heureux(Marco) Úð heureux(Paula) Universel < Forme générale : "ð ð
< Exemple : « Toute personne dans cet amphi est intelligente » : "ðx est-
dans(x, amphi) -> intelligent (x?
??????????????>???????????????????????????????????????????.???????????????
????????????????????>????????'????????????????????????????????????????????
?????????????????????????????????????????????????????????>????????????????
??????????????????????????????
Exemple : « Il y a quelqu'un de bizarre dans l'amphi » : $ð ðx est-dans(x,
amphi) ^ bizarre (x)
$ x P(x) est équivalent à la disjonction d'instanciations de P.
exemple : domaine fini de 2 individus Marco et Paula, $ðx, heureux(x) est
équivalent à heureux(Marco) Úð heureux(Paula)
Universel
Forme générale : "ð ð
Exemple : « Toute personne dans cet amphi est intelligente » : "ðx est-
dans(x, amphi) -> intelligent (x)
"x P(x) est équivalent à la conjonction d'instanciations?
????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
??????????????????????????????????????????????
??????????????>?????????????????????????????????????????????????????????????
??????????????????????>????????'????????????????????x est-dans(x, amphi) ^
bizarre (x)
$ x P(x) est équivalent à la disjonction d'instanciations de P.
exemple : domaine fini de 2 individus Marco et Paula, $ðx, heureux(x) est
équivalent à heureux(Marco) Úð heureux(Paula)
Universel
Forme générale : "ð ð
Exemple : « Toute personne dans cet amphi est intelligente » : "ðx est-
dans(x, amphi) -> intelligent (x)
"x P(x) est équivalent à la conjonction d'instanciations de P.
exemple : domaine fini de 2 individus Marco et Paula, "ðx, aime(x,x) est
é???????????????????????????????????????????????????????????????????????????
??????????????>?????????????????????????????????????????????????????????????
????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
??????????????????????????x, heureux(x) est équivalent à
heureux(Marco) Úð heureux(Paula)
Universel
Forme générale : "ð ð
Exemple : « Toute personne dans cet amphi est intelligente » : "ðx est-
dans(x, amphi) -> intelligent (x)
"x P(x) est équivalent à la conjonction d'instanciations de P.
exemple : domaine fini de 2 individus Marco et Paula, "ðx, aime(x,x) est
équivalent à aime(Marco,Marco) Ùð aime(Paula,Paula) Les quantifications sont tooujours sur des objets et non sur des fonctions
ou prédicats. Sinon, on
parl?????????????????????????????????????????????????????????????????>??????
????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
?????????????????????????>??? heureux(Paula)
Universel
Forme générale : "ð ð
Exemple : « Toute personne dans cet amphi est intelligente » : "ðx est-
dans(x, amphi) -> intelligent (x)
"x P(x) est équivalent à la conjonction d'instanciations de P.
exemple : domaine fini de 2 individus Marco et Paula, "ðx, aime(x,x) est
équivalent à aime(Marco,Marco) Ùð aime(Paula,Paula) Les quantifications sont tooujours sur des objets et non sur des fonctions
ou prédicats. Sinon, on parle de logique de secons ordre.
Exemple : tous les?
??????????????>?????????????????????????????????????????????????????????????
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???????????????????????
Exemple : « Toute personne dans cet amphi est intelligente » : "ðx est-
dans(x, amphi) -> intelligent (x)
"x P(x) est équivalent à la conjonction d'instanciations de P.
exemple : domaine fini de 2 individus Marco et Paula, "ðx, aime(x,x) est
équivalent à aime(Marco,Marco) Ùð aime(Paula,Paula) Les quantifications sont tooujours sur des objets et non sur des fonctions
ou prédicats. Sinon, on parle de logique de secons ordre.
Exemple : tous les prédicats n'ont qu'un seul terme : "ðP,
Arité(??????????????????????????????????????????????????????????????????????
????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
?????????????????????????????????????>?????????????????????>????????????????
???????????????????????????????x est-dans(x, amphi) -> intelligent (x) "x P(x) est équivalent à la conjonction d'instanciations de P. exemple : domaine fini de 2 individus Marco et Paula, "ðx, aime(x,x) est
équivalent à aime(Marco,Marco) Ùð aime(Paula,Paula) Les quantifications sont tooujours sur des objets et non sur des fonctions
ou prédicats. Sinon, on parle de logique de secons ordre. Exemple : tous les prédicats n'ont qu'un seul terme : "ðP, Arité(P(x), 1)
n'est pas une expression bien formée. Traduction
Exemples : Prédicats
utilis??????????????????????????????????????????????????????????????????????
????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
??????????????????????????????>?????????????????????????????????????????????
???????????????????????????????x, aime(x,x) est équivalent à
aime(Marco,Marco) Ùð aime(Paula,Paula) Les quantifications sont tooujours sur des objets et non sur des fonctions
ou prédicats. Sinon, on parle de logique de secons ordre.
Exemple : tous les prédicats n'ont qu'un seul terme : "ðP, Arité(P(x), 1)
n'est pas une expression bien formée.
Traduction
Exemples :
Prédicats utilisés : champignon(x), violet (x) et empoisonne (x).
< Tous les champignons violets sont empoisonnés.
"x, (champignon(x) ^ violet(x)) -> empoisonne(x)
< Aucun
champi????????????????????????????????????????????????????????????????????
??????????????????????????????????????????????????????????????????????????
?????????>????????????????????????????????????????????????????????????????
???????????????????????????????????? aime(Paula,Paula)
Les quantifications sont tooujours sur des objets et non sur des fonctions
ou prédicats. Sinon, on parle de logique de secons ordre.
Exemple : tous les prédicats n'ont qu'un seul terme : "ðP, Arité(P(x), 1)
n'est pas une expression bien formée.
Traduction
Exemples :
Prédicats utilisés : champignon(x), violet (x) et empoisonne (x). Tous les champignons violets sont empoisonnés.
"