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Résumé d'automatique 1 - Transformée de Laplace On note F(p) la transformée de Laplace d'une fonction f(t) : [pic] Cette transformation est linéaire : [pic]
1.1 - Propriétés
|Transformée de la dérivée temporelle de |Transformée de la l'intégrale de f(t) |
|f(t) |[pic] |
| | |
|[pic] | |
|Théorème de la valeur initiale |Théorème de la valeur finale |
| | |
|[pic] |[pic] |
| | |
|Transformée d'une fonction retardée | |
|[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |
1.2 -Transformée d'une équation différentielle à coefficients
constants, fonction de transfert |On considère le système physique suivant |[pic] |
dans lequel e(t) et s(t) sont liés par une équation différentielle linéaire
à coefficients constants sans terme constant : [pic] Le système est alors linéaire
Si les conditions initiales suivantes sont nulles : [pic]
La transformée de l'équation différentielle sans terme constant s'exprime
par [pic]
[pic] Laplace et conditions initiales
nulles
[pic] On peut alors définir une fonction de transfert [pic] c'est à dire [pic] n = ordre du système
[pic]= gain statique du système
F(p) peut se mettre sous la forme [pic], ( = classe du système
(éventuellement (=0) = nombre d'intégrations dans le système) 1.3 - Cas d'une équation avec un terme constant Exemple :
[pic]
On effectue un changement de variable tel que [pic].
Dans ce cas [pic] et l'équation s'écrit : [pic]
On prend A tel que [pic] c'est-à-dire [pic]
Finalement l'équation différentielle s'écrit sans terme constant :
[pic] 1.4 - Linéarisation autour d'un point de fonctionnement
1.4.1 - Exemple : cuve qui fuit | |C'est le débit entrant qui engendre la |
|[pic] |hauteur dans la cuve (système causal) : |
| |[pic] |
| |Le débit sortant est lié à la hauteur de |
| |fluide dans la cuve par :[pic] (équation |
| |issue de la mécanique des fluides). |
Equation de conservation de volume : Variation de volume dans la cuve = débit entrant - débit sortant
Volume : [pic] d'où [pic]
Ou encore
[pic] c'est-à-dire [pic]
Linéarisation autour d'une hauteur [pic] de fluide. La hauteur de fluide dans la cuve peut s'écrire sous la forme [pic] (ce qui
implique notamment que [pic])
Si [pic], alors [pic] et [pic]. Il vient alors [pic].
On peut également écrire le débit entrant sous la forme [pic]
On cherche donc à établir une équation différentielle entre les petites
variations de débit [pic] autour de [pic] et les petites variations de
hauteur [pic] autour de [pic].
Avec les nouvelles variables, l'équation de système s'écrit
[pic]
Rappel : si [pic] alors [pic]
Donc : [pic]
Soit
[pic]
Finalement, l'équation différentielle du système autour du point ([pic],
[pic]) s'écrit
[pic] 1.4.2 - Méthodologie |On considère le système suivant non|Etape 1 |
|régi par une équation |Ecrire e(t) et s(t) sous la forme [pic] et [pic]|
|différentielle non linéaire notée | |
|(Eq) |[pic] définissent le point de fonctionnement |
|[pic] |Etape 2 |
| |En supposant que [pic] et [pic] (c'est-à-dire |
| |que [pic]) écrire l'équation (Eq.) pour obtenir |
| |une relation entre [pic] et [pic] |
Etape 3
Ecrire l'équation (Eq) en faisant apparaître [pic], [pic], [pic] et [pic].
Linéariser les termes qui le nécessitent soit en utilisant la formule
générale [pic] soit un utilisant des développements limités connus (exemple
: [pic]). Etape 4 Eliminer [pic] et [pic] de l'équation obtenue pour obtenir une équation
différentielle linéaire entre [pic] et [pic]. Remarque
Si l'équation (Eq) de départ ne fait pas apparaître e(t) ou s(t) mais
directement une de leurs dérivées (cas d'un système avec une
intégration par exemple), écrire directement [pic] ou [pic] et
continuer la méthode. 2 - Système bouclé |[pic] |On définit la Fonction de Transfert en |
| |Boucle Ouverte : |
| |[pic] |
[pic]
D'où la Fonction de Transfert en Boucle Fermée
[pic]
D'une manière générale la Fonction de Transfert en Boucle Fermée s'écrit :
[pic]
Si le système est à retour unitaire, c'est-à-dire si R(p)=1 :
[pic] Expression de l'écart en fonction de l'entrée |[pic] |[pic] |
Expression de la mesure en fonction de l'entrée |[pic] |[pic] |
Notamment, pour l'étude des systèmes bouclés, il est toujours possible de
se ramener à un système à retour unitaire : [pic] 3 - Systèmes du premier ordre Ce sont les systèmes tels que [pic]
La fonction de transfert s'écrit [pic]
K =Gain statique
( = constante de temps
|Etude temporelle |Etude fréquentielle |
|Réponse à un échelon [pic] c'est-à-dire |[pic] |
|[pic] |Gain |
|[pic] |[pic] |
|Avec les théorèmes sur les limites, il |Gain en décibels |
|vient : |[pic] |
|[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |
|Expression de s(t) |Déphasage |
|[pic] |[pic] |
|Temps de réponse [pic] à 5% tel que [pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |
|[pic] ou [pic] |[pic] |
|D'où [pic] |Pulsation de coupure telle que [pic] si |
|Tracé de la réponse indicielle |K>1 : |
|[pic] |[pic] ou [pic] [pic] |
| | |
| |Tracé du diagramme de Bode |
| |[pic] |
4 - Systèmes du second ordre Ce sont les systèmes tels que [pic]
o [pic], pulsation propre non amortie (en [pic]) (pulsation du système
si z=0). On note quelquefois [pic], pulsation naturelle.
o z ( 0, coefficient d'amortissement du système (sans dimension)
o K > 0, gain statique du système([pic]).
La fonction de transfert s'écrit[pic] Etude temporelle Réponse à un échelon [pic] c'est-à-dire [pic]
[pic]
Avec les théorèmes sur les limites, il vient :
[pic]
[pic]
[pic]
Expression de s(t). Elle dépend de z
[pic]
Si z>1 : deux racines [pic] . La réponse est apériodique (sans
dépassement)
et [pic]
C'est-à-dire
[pic]
Avec [pic] et
[pic]
Si z=1 : une racine double [pic]. C'est le régime apériodique le plus
rapide.
et
[pic]
Si z