Cours de Mécanique des Milieux Continus

Cours de Mécanique des Milieux Continus






Année scolaire 2013 - 2014






Michel MAYA

maya@cluny.ensam.fr

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Sommaire






Sommaire 3

Descriptions de la Mécanique des Milieux Continus 5

Domaine d'étude 5

Hypothèse de continuité 6

Variables d'études 8
Référentiels - Répères 8
Description Lagrangienne 9
Description Eulérienne 10
Dérivation temporelle 11

Déformations d'un milieu continu 13

Tenseur Gradient 13
Exemple dans le cas d'une déformation homogène triaxiale 14
Etude tridimensionnelle des déformations 14
Interprétation des résultats 16
Base principale 18
Tenseur des déformations linéarisé 18
Etude des petites perturbations 21
Directions principales ; déformations principales 22

Représentations graphiques 24

Conditions de compatibilité 26

Vitesse de déformation 28
Taux de déformation lagrangien 28
Taux de déformation eulérien 29
Interprétation du tenseur taux de déformation 30

Etat de contrainte dans les milieux continus 31

Lois de conservation 31
Dérivée particulaire d'une intégrale de volume 31

Théorème de la divergence 32

Théorème de l'intégrale nulle 33

Expression générale d'une loi de conservation 33

Contraintes dans un domaine matériel 34
Loi fondamentale de la mécanique 34
Vecteur contrainte 35
Tenseur des contraintes 36
Equilibre dynamique 38
Propriétés du tenseur des contraintes 41

Lois de Comportement des milieux continus 45

Bilan des Equations 45
Théorème de l'énergie cinétique 46

Thermodynamique des milieux continus 49
Premier Principe de la thermodynamique 49
Second Principe de la thermodynamique 50
Equation de la chaleur 51

Thermo-élasticité linéaire 53
Première approche de l'élasticité linéaire 53
Deuxième approche de l'élasticité linéaire 55
Convention d'écriture 57
Symétrie plane 59
Matériau orthotrope 59
Matériau isotrope transverse 61
Matériau isotrope 62

Elasticité linéaire 63

Loi de comportement 63

Equations supplémentaires en élasticité 65
Equations de NAVIER 65
Equations de BELTRAMI 66

Critères de limite élastique 68
Les résultats d'essai 68
Les différents critères 71

Les schémas de résolution 73
Théorème d'unicité 73
Schémas de résolution 74
Exemple d'application 74

Elasticité bidimensionnelle 78
Définition des états plans 78
Fonction d'Airy 81
Exemple d'application : flexion simple d'une poutre rectangulaire 82
Elasticité plane en coordonnées polaires 84
Application en coordonnées polaires 85

Quelques formules 87

Elasticité linéaire en coordonnées polaires 88


Descriptions de la Mécanique des Milieux Continus



Domaine d'étude


L'objectif de ce cours est de présenter (hélas succinctement) la
mécanique des milieux continus. Nous allons trouver dans ce cours
l'application du principe fondamental de la mécanique à tous types de
domaines matériels. En particulier nous pourrons nous intéresser aussi bien
à des domaines ayant des comportements de corps solide ou des comportements
de fluide (liquide ou gaz). La généralité de ce cours apparaît ainsi
évidente.

[pic]



Il est à noter que la distinction entre ces différents états de la
matière n'est pas évidente. Ainsi comment ne pas s'interroger devant le
phénomène de changement d'état liquide-vapeur-liquide pour un cycle
englobant dans le diagramme Température - Entropie le point K sommet de la
courbe d'ébullition.





Le dictionnaire ne nous aide pas particulièrement dans notre démarche
de distinction. Ainsi « Le Petit Larousse » donne les définitions suivantes
:

*Fluide Se dit des corps (gaz et liquides) qui n'ayant pas de
forme propre, sont déformables sans effort.
*Gaz Tout fluide aériforme (qui a les propriétés physiques de l'air
(fluide gazeux qui forme l'atmosphère)). Un des trois états de la matière,
caractérisé par la compressibilité et l'expansibilité.
*Liquide Qui coule ou qui tend à couler. Se dit d'un état de la
matière présenté par les corps n'ayant pas de forme propre, mais dont le
volume est invariable.
*Solide Qui a une forme propre.

Comment avec ces définitions trouver la frontière entre un solide
plus ou moins mou et un liquide plus ou moins visqueux? Le sable est-il un
solide ou un fluide? Certaines peintures ont un comportement de solide mais
après brassage deviennent fluides. Le verre est un solide à notre échelle
de temps, mais avec les siècles, on constate que c'est un liquide à très
forte viscosité. Le yaourt peut être considéré comme un fluide à mémoire.
Et encore nous ne dirons rien des Alliages à Mémoire de Forme (AMF).

Comme on peut le constater, la détermination n'est pas simple et peut
être fonction de nombreux paramètres (Pression, Température, Temps ...). En
conséquence, on peut considérer que la démarche du mécanicien qui consiste
à regrouper dans un seul enseignement l'étude mécanique de ces différents
états de la matière est légitime, mais quelle risque de se heurter à de
nombreuses difficultés. L'étude de ces différents comportements est appelée
la Rhéologie.

Pour mener à bien une étude de mécanique, la notion de référentiel
est essentielle. D'une part, afin de connaître les évolutions cinématiques
d'un domaine matériel on devra lui associer un référentiel, et d'autre part
le Principe Fondamental de la Mécanique s'appuie sur l'existence d'un
repère privilégié appelé "Repère Galiléen".

Un repère est défini par la donnée d'une base vectorielle associée à
une origine. Il est à noter qu'en aucun cas il n'est fait l'obligation
d'une base orthonormée. Bien évidement, pour des questions de
simplifications, nous essaierons toujours d'employer de telle base, mais
nous pourrons aussi constater que suite aux déformations imposées à notre
domaine, nous ne pourrons pas constamment conserver cette notion
d'orthogonalité. Le mécanicien est ainsi tout naturellement guidé vers
l'utilisation des notations tensorielles. A ce sujet, il est à noter que
l'algèbre et l'analyse tensorielle professées en mathématique sont des
enseignements directement issus de notions mécaniciennes. Le mot tenseur ne
provient-il pas du mot tension ? Ainsi on peut constater ce que la science
mécanicienne a apporté à la connaissance des autres sciences. Cette
remarque peut aussi bien s'adapter aux méthodes de résolutions numériques
fortement issues de la méthode des éléments finis.



Hypothèse de continuité


Nous allons orienter notre étude sur des domaines matériels continus
subissant des transformations continues. Dans cette simple phrase on peut
constater l'importance de l'hypothèse de continuité. De nouveau le Petit
Larousse ne nous est que d'un faible secours (Continu : non divisé dans
son étendue, non interrompu dans sa durée).


Continuité du domaine matériel étudié.

Pour le physicien, la continuité du domaine sera traduite
mathématiquement par le fait que les fonctions caractéristiques du domaine
sont des fonctions continues au sens mathématique du terme. Ainsi, si on
considère des grandeurs physiques telles que la masse volumique, la
température, la pression, on doit pouvoir les représenter par des fonctions
continues. Déjà, avec cette définition, on peut constater qu'il existe des
limites à notre étude. Ainsi nous ne pourrons pas étudier un milieu
diphasique, de même pour un mélange eau-huile. Toutefois, il sera possible
de mener à bien de telles études en considérant n domaines continus. On
conçoit que ceci ne nous mènera pas vers une simplification.

De plus il est à noter que la continuité parfaite d'un domaine
matériel n'existe pas. Ainsi, sans aller à une définition atomique de la
matière, les moyens d'investigation tels que les microscopes (électroniques
ou non) montrent clairement que la matière est faite de juxtaposition
d'éléments ne possédant pas les mêmes caractéristiques. De fait la
continuité du domaine matériel ne pourra qu'être une approximation. Suivant
le degré de respect ou de non-respect de cette hypothèse, notre étude sera
plus ou moins entachée d'erreur. Il faut noter que malgré tout, nous
pourrons utiliser ce cours pour étudier des matériaux tels que le béton, le
bois ...

Heureusement, il existe actuellement un processus dit
d'homogénéisation qui permet de limiter les erreurs. Ainsi les matériaux
plastiques chargés de fibre de verre pourront être traités dans le cadre de
cette étude.

Continuité de la transformation.

[pic]
[pic]
Comme nous le verrons ensuite, la transformation sera essentiellement
caractérisée par la donnée d'un champ vectoriel appelé champ de
déplacement.