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EXERCICE II : Tennis

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1. Équations horaires paramétriques et trajectoire.
1.1. La balle, dans le référentiel terrestre galiléen, est soumise
uniquement à son poids [pic]. En effet d'après l'énoncé « l'action de l'air
est négligeable » : on ne tient pas compte de la poussée d'Archimède et de
la force de frottement de l'air sur la balle. Et la raquette n'agit plus
pendant le mouvement de la balle.
Les caractéristique du poids [pic]= m.[pic] sont :
- direction : verticale
- sens : vers le bas
- expression : P = m.g
-valeur (= grandeur) : P = 58,0(10-3(9,81 = 0,569 N.
1.2. La seconde loi de Newton, appliquée à la balle donne : [pic]= m.[pic]
soit m.[pic]= m.[pic] d'où : [pic] = [pic]
Les coordonnées du vecteur accélération dans le repère Oxyz sont : [pic]
1.3. [pic] donc [pic] ainsi [pic] C1, C2, C3 sont des
constantes définies par les conditions initiales.
Initialement [pic] avec [pic] donc [pic] d'où [pic]
Et [pic] donc [pic] ainsi [pic] C'1, C'2, C'3 sont des
constantes
Initialement [pic] donc [pic] d'où [pic]
On retrouve bien les expressions demandées :
x(t) = v0.t (1) y(t) = [pic]+ H (2) z(t) = 0
1.4. Quel que soit t, z(t) = Cte = 0 donc le mouvement de la balle a lieu
dans le plan (Oxy).


1.5. On isole le temps « t » de (1) que l'on reporte dans (2) :
(1) t = [pic] donc dans (2) : y(x) = [pic]+ H
finalement : y(x) = [pic]+ H équation d'une parabole de concavité
tournée vers le bas.
2. Qualité du service.

2.1. La balle passe au-dessus du filet si pour x = OF= 12,2 m , y(x) >
0,920 m.
Calculons, avec l'expression du 1.5. : y(x=12,2) = [pic]= 1,60 m > 0,920 m
avec v0 = 126 km.h-1 = (126/3,6) m.s-1
Donc la balle passe au-dessus du filet.

2.2. La balle frappe le sol en un point B' (xB' ; yB'= 0 ;zB'=0).
Le service est « mauvais » si xB' > OB avec OB = L = 18,7 m.
Avec l'expression du 1.5., déterminons xB' : y(xB') = 0 soit [pic]+ H =
0 Isolons xB' : [pic] donc [pic] en ne gardant que la solution
positive. [pic] =
23,4 m.
Donc xB' > 18,7 m, le service est effectivement « mauvais ».

2.3. En réalité, la balle tombe en B. Le paramètre, non pris en compte dans
ce problème, qui peut expliquer cette différence est la force de frottement
de l'air sur la balle.Remarque hors programme de terminale : Au tennis,
l'effet donné à la balle est essentiel. La balle est mise en rotation, et
l'effet Magnus modifie la trajectoire de façon sensible.
Exercice 1 Mouvements plans
1.1. Le projectile est soumis uniquement à son poids.
D'après la deuxième loi de Newton: [pic]= m.[pic]
soit m.[pic]= m.[pic]
donc [pic]= [pic]
Ainsi l'affirmation est vraie, le vecteur accélération [pic] du centre
d'inertie du projectile ne dépend pas des conditions initiales.
1.2. D'après le 1.1. on a [pic]= [pic]
Par projection suivant l'axe vertical Oz, aGZ = - g
Or aGZ = [pic] donc vGZ = - g.t + V0z soit vGZ = - g.t + V0.sin
(
vGZ varie au cours du temps, donc le mouvement du projeté de G suivant
l'axe vertical Oz n'est pas uniforme.
Affirmation fausse.

1.3. Il faut établir l'équation de la trajectoire de G.

axG = 0 vxG = v0x = V0.cos ( xG =
(V0.cos().t
[pic] [pic] [pic]
azG = - g vZG = -g.t + V0.sin ( zG = -
[pic].g.t² + (V0.sin().t

on peut écrire que t = [pic], on remplace cette expression dans
l'expression de zG
zG = - [pic].g. ([pic])² + (V0.sin().[pic]
zG = - [pic].g. ([pic])² + xG.tan (
Cette équation de trajectoire correspond effectivement a une parabole sauf
si ( = 90°
La proposition est donc fausse.

Si ( = 90°

axG = 0 vxG = v0x = V0.cos ( = 0 xG = 0
[pic] [pic] [pic]
azG = - g vZG = -g.t + V0.sin ( zG = -
[pic].g.t² + V0.t
vZG = -g.t + V0
Alors la trajectoire serait un segment de droite verticale.

1.4. On reprend les coordonnées du vecteur position établies en 1.3. avec (
= 0 (vecteur vitesse initiale horizontal)
xG = (V0.cos().t xG = V0.t
[pic] soit [pic]
zG = - [pic].g.t² + (V0.sin().t zG = - [pic].g.t²

Lorsque zG = - H alors le projectile touche le sol, ceci a lieu à l'instant
noté tS
-H = - [pic].g.tS²
soit tS² = [pic] donc tS = [pic]
On calcule alors l'abscisse xG à cet instant: xG = V0.tS
xG = V0. [pic]
L'affirmation est vraie.
2.1. La force gravitationnelle exercée par la Terre sur le satellite a pour
expression:
FT(S = G. [pic]
soit G = [pic]
procédons à une analyse dimensionnelle
tout d'abord pour la force FT(S: d'après la seconde loi de Newton FT(S =
m(a
[F] = [M]( [pic]
donc [G] = [M]( [pic] ( [L]² ( [M]-1 ( [M]-1
[G] = [pic]( [M]-1
G s'exprime en m3.s-2.kg-1
L'affirmation est fausse.

2.2. D'après la deuxième loi de Newton : [pic]= m.[pic]
La seule force subie par le satellite est la force [pic] exercée par la
Terre.
Or cette force a pour direction une droite passant par le centre de la
Terre et son sens est orienté du satellite vers le centre de la Terre.
Donc effectivement, [pic] est centripète.
L'affirmation est vraie.

2.3. [pic]= m.[pic]
Soit un vecteur [pic] mobile dont la direction est une droite joignant le
centre du satellite au centre de la Terre et le sens est orienté du
satellite vers la Terre.
Alors [pic]= [pic][pic]
[pic] = m. [pic][pic]
Par projection on obtient FT(S = m.[pic]
G. [pic] = m.[pic]
G. [pic]= V² soit V = [pic] Proposition vraie
2.4. Le satellite effectue une révolution en une durée T.
Il parcourt sa trajectoire supposée circulaire de longueur égale à 2((RT+h)
pendant une durée T et ce à une vitesse supposée constante de valeur V =
[pic]
V = [pic] = [pic]
T = [pic]
T² = [pic] = [pic]
T² = [pic]
T² = 6,98(108 (valeur non arrondie à utiliser pour accéder à T)
donc T = 2,64(104 s
La proposition est vraie.