Exercices oscillateurs mécaniques

Problèmes à résoudre :oscillateurs mécaniques
Source :http://www.chimix.com
Sujet 1 :
Dans un plan horizontal, on considère un système oscillant formé d'un
mobile autoporteur lié à deux points fixes par l'intermédiaire de deux
ressorts élastiques identiques, de masses négligeables, et de même axe. Le
système, initialement au repos, est écarté de sa position d'équilibre en
déplaçant le centre d'inertie G du mobile le long de l'axe des deux
ressorts. L'ensemble des deux ressorts est équivalent à un ressort de
constante de raideur k = 15,4 N.m-1.
rappel : l'élongation y d'un oscillateur linéaire sans amortissement
satisfait à l'équation différentielle : y"+?²y =0, dont les solutions y(t)
sont sinusoïdales, de pulsation ?.
Une table à numériser permet la détermination des positions successives y
de G dans un repère lié à la table ; la trajectoire de G est portée par
l'axe y' y . Un logiciel de traitement de données permet d'afficher les
points correspondant aux couples (t, y), (t,), ou toute autre fonction
souhaitée, et d'en représenter les courbes.
1. Dans toute cette partie, le mobile a pour masse m = 220 g et le système
considéré est non amorti.
. . La figure ci dessous représente l'ensemble des points
d'enregistrement (t, y). Ces points se situent sur une courbe d'allure
sinusoïdale. Déterminer graphiquement la valeur de la période T et de
l'élongation maximale Ym de y. A partir de la valeur de T, calculer la
pulsation de cet oscillateur.
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. La courbe ci dessous, représente les couples (y, y" ). Montrer que ce
graphique est en accord avec l'équation différentielle proposée. Que
représente le coefficient directeur de la droite support de cet
ensemble de points ? Déterminer graphiquement sa valeur et en déduire
l'ordre de grandeur de la pulsation de l'oscillateur.
. Les valeurs expérimentales de la pulsation déterminées ci dessus sont-
elles compatibles avec la valeur théorique de la pulsation propre ?0
de cet oscillateur ?
. . Ecrire la relation de conservation de l'énergie E pour un
oscillateur se déplaçant en translation, sans frottement. Montrer
qu'elle peut s'écrire y'² / ?0 ² +y² =C, où C est une constante qui
s'exprime en, fonction de E et de k. Exprimer C en fonction de Ym et
calculer sa valeur.
. Pour traduire la conservation de l'énergie de l'oscillateur sur un
graphe, on peut utiliser les représentations des couples :(t,E) ou
(y², y'² / ?0 ²). Reporter sur votre feuille les deux représentations
choisies parmi les trois proposées, en précisant les grandeurs portées
sur les axes.
[pic]
2. Les ressorts étant inchangés, un dispositif d'amortissement est
désormais fixé sur le mobile. On réalise un nouvel enregistrement,
représenté ci dessous.
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En utilisant deux valeurs consécutives de la valeur maximale de y, donner
un ordre de grandeur du pourcentage de l'énergie perdue par l'oscillateur
au cours d'une période. Quelles sont les causes physiques de la dissipation
?
[pic]
Sujet 2 :
Dans tout l'exercice, on prendra g = 10 m / s2. On négligera les
frottements. On utilise un ressort de masse négligeable, à spires non
jointives.
1. Etude préalable du ressort
Pour déterminer la raideur k d'un ressort, on accroche une de ses
extrémités à un support fixe. Lorsqu'on accroche une masse marquée m =
200 g à son autre extrémité, son allongement vaut 10,0 cm.
Vérifier que la raideur du ressort vaut 20,0 N.m - 1.
En utilisant le théorème du centre d'inertie, justifier que la raideur
peut aussi s'exprimer en kg/s2.
En quelle unité la quantité racine carrée (m /k )s'exprime-t-elle ?
2. Etude d'un oscillateur élastique
On fixe maintenant le ressort étudié comme l'indique la figure ci
dessous. Le ressort est horizontal ; une de ses extrémités est fixe. On
accroche à son autre extrémité un solide (S) masse m = 200 g. Ce solide
peut se déplacer sans frottement le long d'un axe horizontal Ox. À
l'équilibre, le centre G du solide coïncide avec l'origine 0 du repère.
Etablir l'équation différentielle qui régit le mouvement de G.
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1. En déduire l'expression de la pulsation propre ?0 de cet oscillateur
et celle de sa période propre T0. Calculer numériquement ?0 et T0.
2. Vérifier que, quelles que soient les valeurs de Xm et ?, l'équation
horaire
x (t) = Xm cos (?0 t + ?) est solution de l'équation différentielle
précédente.
3. On comprime le ressort vers la gauche. Le point G occupe alors la
position Go telle que OGo = - 0,15 m. À l'instant t = 0, on lâche le
solide sans vitesse initiale. Déterminer l'amplitude Xm et la phase ?
du mouvement, ainsi que l'expression de la vitesse v (t) du solide. En
déduire la valeur maximale de la vitesse.
4. Définir et exprimer l'énergie mécanique de cet oscillateur non amorti.
Calculer sa valeur à l'instant t = 0. (On prendra l'énergie
potentielle du ressort nulle lorsque x = 0).
5. En admettant et en utilisant la conservation de cette énergie
mécanique, retrouver la valeur maximale de la vitesse du solide.
CORRECTIONS
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