MIAS septembre 02 - L'UTES

Université Pierre et Marie Curie
DEUG MIAS 1 Examen de mathématiques 1
Septembre 2002 Corrigé de l'examen et remarques
Exercice 4
1. Chercher le PGCD (noté D) des polynômes suivants
[pic] On fait la division euclidienne de A par B
[pic]
puis
[pic]
Le dernier reste non nul est donc [pic] et, comme le PGCD est unitaire,
[pic].
2. Écrire une relation de Bézout entre A, B et D. De la première division de la question précédente on déduit que A = B - D. 3. Donner une factorisation de A et B en facteurs irréductibles dans R[X]
puis dans C[X]. La deuxième division de la première question montre que
[pic].
Une autre division donne
[pic]
On remarque que
[pic]
et comme [pic] et [pic]sont des polynômes irréductibles de R[X] (de degré
é à discriminant strictement négatif) on en déduit les factorisations en
facteurs irréductibles dans R[X] :
[pic]
puis dans C[X]
[pic]
Remarques
> On attendait un algorithme d'Euclide en 1) puis en 3) une
factorisation du PGCD (de degré 2 donc on sait en calculer les
racines) puis de A et B en factorisant les quotients de degré 2 aussi
par D.
> On pouvait aussi repérer des racines évidentes, factoriser -
résoudre la question 3) - et en déduire le PGCD - question 1) - .
> De même on pouvait remarquer sans autre formalité que B = A - D. Références dans Université en Ligne (http://www.uel.cicrp.jussieu.fr) Module sur les polynômes et spécialement le chapitre « apprendre,
arithmétique dans K[X]»
http://www.uel.cicrp.jussieu.fr/uel/mathematiques/polynomes1/apprendre/titre
1.htm. Testez sur un exercice analogue si vous avez compris. 1. Chercher le PGCD (noté D) des polynômes suivants
[pic]
2. Écrire une relation de Bézout entre A, B et D.
3. Donner une factorisation de A et B en facteurs irréductibles dans R[X]
puis dans C[X].
Demandez la réponse (code P02) à l'équipe pédagogique de L'UT?S ou
par mail à
lutelmaths@cicrp.jussieu.fr