Modèle mathématique. - Euler

T GE - Suites - Correction des exercices p.198 n°1
[pic] n°2 [pic]
n°6 Suite arithmétique de raison 5 avec U1 = 5 et Un = 5n. [pic] n°9 [pic] n°10 [pic] n°11 [pic]. Il y a bien deux solutions : [pic][pic]. Si [pic], d'où [pic].
Si [pic], [pic], d'où [pic]. n°12 [pic]. On a donc [pic], d'où [pic]. Donc [pic]. n°13 S est la somme des onze premiers termes d'une suite géométrique de
premier terme [pic] et de raison 3. [pic]. n°14 S est la somme des dix premiers termes d'une suite géométrique de
premier terme [pic] et de raison -2. [pic], soit S = 682. n°17 a) Soit la fonction f définie sur [pic] par [pic]. [pic]. [pic] sur
[pic], donc f est strictement décroissante sur son domaine de définition.
[pic]. Donc la suite associée (Un) dans N* a même limite. b) Graphique :
[pic] n°18 [pic] pour tout entier naturel n. La suite est donc décroissante. n°20 a) [pic], [pic] N. Soit la fonction associée dans R+ définie par
[pic]. [pic]. Cette dérivée est positive dans R+, donc f est croissante. La
suite associée (Un) est donc croissante. b) [pic]. Soit f la fonction associée sur R+ par [pic]. [pic], donc [pic]
et [pic]. Donc f est décroissante sur [pic]. La suite (Vn) associée est
donc décroissante pour [pic]. n°21 a) Soit [pic]N*. Soit f la fonction associée sur R*+ par [pic].
[pic]. Or si x > 0, > 0 et si [pic]. Donc [pic] et donc [pic]. Donc [pic].
La fonction est donc décroissante sur R*+ et la suite associée (Un) est
décroissante sur N*.
b) [pic]N. Soit f la fonction associée sur R+ par [pic]. [pic] et cette
dérivée est positive sur R+. Donc la fonction est croissante sur R+ et la
suite associée (Vn) est croissante sur N. n°23 a) [pic], ce qui s'écrit encore [pic].
b) Soit f la fonction définie sur R par [pic]. [pic]. Comme ln(3) > 0,
f'(x) > 0 et la fonction est strictement croissante sur R, donc aussi sur
R+. La suite associée est donc strictement croissante. n°26 a) [pic]
b) [pic]
c) [pic]
d) [pic] n°28 I a) [pic]
b) [pic] car [pic]. En effet [pic].
n°29 a) [pic] b) [pic] car [pic][pic] n°30 a) [pic] b) [pic] n°32 a) [pic] b) [pic] car c'est une suite géométrique de raison
supérieure à 1. n°34 a) [pic] b) [pic] car c'est une suite géométrique de raison
inférieure à 1. n° 35 Question 1 a)
[pic] b) [pic] donc [pic] pour tout entier naturel n. Il s'agit donc d'une suite
géométrique et [pic]. c) [pic] car la raison de cette suite géométrique est supérieure à 1.
Question 2. L'aire vaut cm². Donc [pic] d'où [pic] ou encore [pic], suite
géométrique de premier terme y1 = 1 et de raison . Donc [pic].