Le théorème de Thébault-Sawayama

Le théorème de Thébault-Sawayama
Préambule Ayant travaillé en 2003 sur la configuration de Van Aubel ; j'ai découvert
le théorème de Thébault dans le dictionnaire des mathématiques et j'ai
créé, en mai 2008, une page WikiPédia qui a reçu des enrichissements
conséquents des utilisateurs Tcharvin et HB.
Question : Pour le lemme dans le paragraphe 2, E et F sont situés sur la
parallèle passant par I à la bissectrice de ADB. Ceci ne peut être utilisé
que lorsque le lemme a été prouvé. Alors comment caractériser E et F ? ou K
? ou les cercles C3 et C4 ? Comment utiliser C5 ?
J'ai du mal avec la construction qui n'est pas explicitée. Je me suis
contenté de Viète, merci à HB qui m'a indiqué la méthode des bissectrices.
Voir les constructions en annexe à la fin de l'article.
Patrice Debart Wikipédia : théorème de Thébault Le nom de théorème de Thébault ne correspond pas à un théorème précis mais
plutôt à une série de problèmes posés par le mathématicien français Victor
Thébault (1882 - 1960).
Le problème de Thébault n°1
Construction de quatre carrés à l'extérieur d'un parallélogramme ABCD.
Le problème de Thébault n°2
Deux triangles équilatéraux autour d'un carré.
Le problème de Thébault n°3, aussi connu sous le nom de Théorème de
Sawayama-Thébault, est un théorème de géométrie euclidienne portant sur
l'alignement de trois points dans une construction.
La première démonstration connue a été réalisée en 1973 par le
mathématicien néerlandais H. Streefkerk en 1973.
Jean-Louis Ayme a publié, en 2003, une solution synthétique de ce problème.
Il a également effectué des travaux historiques sur celui-ci et a découvert
que ce théorème avait été démontré en 1905 par Y. Sawayama, instructeur à
l'école militaire de Tokyo. Théorème de Thébault-Sawayama
Jean-Louis Ayme
Sawayama and Thebault's theorem Nous présentons une preuve purement synthétique de Théorème de Thébault,
connu plus tôt par Y. Sawayama. 1. Introduction En 1938, dans "Problems and Solutions" section du Amer. Math. Monthly [24],
le célèbre mathématicien français Victor Thébault (1882-1960) a proposé un
problème sur trois cercles de centres colinéaires (voir figure 1) à quoi il
ajoute un rapport et corrige une relation qui finalement s'est avérée être
fausse.
[pic]
Figure 1
La date de la première trois solutions métriques[22], qui est apparue
discrètement en 1973 aux Pays-Bas a été plus largement connue en 1989
lorsque la revue canadienne Crux Mathematicorum [27] a publié la solution
simplifiée par Veldkamp qui était l'un des deux premiers auteurs qui ont
prouvé le théorème aux Pays-Bas [26 , 5, 6].
Il a fallu attendre la fin de cette même année, lorsque le Suisse R. Stark,
un professeur de la Kantonsschule de Schaffhouse, publie dans la revue
helvétique Elemente der Mathematik [21] la première solution de synthèse
d'un "problème plus général" où celui de Thébault apparaît comme un cas
particulier.
Cette généralisation, qui donne une importance particulière à un rectangle
connu par J. Neuberg [15], citant [4], a été soulignée en 1983 par le
commentaire de l'éditorial du Amer. Math. Monthly dans une publication sur
la prétendue première solution métrique de l'anglais K. B. Taylor [23], qui
comptait 24 pages.
En 1986, une preuve beaucoup plus courte [25], due à Gerhard Turnwald, est
apparue. En 2001, R. Shail présente une approche analytique "plus complète"
du problème [19], dans lequel celle de Stark est apparue comme un cas
particulier. Cette dernière généralisation a été étudiée de nouveau par S.
Gueron [11] de façon moins complète en métrique. En 2003, le Amer. Math.
Monthly a publié la solution angulaire de B.J. English, reçue en 1975 et
"perdue dans la nuit des temps" [7].
Merci à JSTOR, l'auteur a découvert dans une ancienne édition du Amer.
Math. Monthly [18] que le problème de Shail a été proposé en 1905 par un
instructeur Y. Sawayama de l'École militaire centrale de Tokyo, et
géométriquement résolu par lui-même, en mélangeant géométrie synthétique et
métrique. Sur cette base, nous élaborons une nouvelle preuve, purement
synthétique, du théorème de Sawayama-Thébault qui comprend plusieurs
théorèmes qui peuvent tous être prouvé en géométrie synthétique. La
première étape de notre approche se réfère au début de la la preuve de
Sawayama et la fin se réfère à la preuve de Stark. En outre, notre point de
vue conduit facilement au résultat de Sawayama-Shail. 2. Un lemme Lemme 1. Par le sommet A du triangle ABC, une ligne droite appelée AD,
coupe le côté BC à D. Soit P le centre du cercle C1, qui touche DC, DA en
E, F et le cercle circonscrit C2 à ABC en K. Alors, la corde EF qui joint
les points de contact passe par le centre I du cercle inscrit dans le
triangle ABC.
[pic]
Figure 2
Preuve. Soit M, N les points d'intersection de C2 avec KE et KF, et J le
point d'intersection de AM et EF (voir Figure 3). KE est la bissectrice
intérieure de BKC [8, Théorème 119]. Le point M est le milieu de l'arc BC
qui ne contient pas de K, AM est la bissectrice intérieure de l'angle A de
ABC et passe par I.
Les cercles C1 et C2 sont tangents en K, EF et MN sont parallèles.
(Note du traducteur : MN est l'image de EF dan l'homothétie de centre K qui
transforme C1 en C2.)
|[pic] |[pic] |
|Les noms des points M et N | |
|ont disparu dans la copie de| |
|l'image ? | |
Figure 3
Le cercle C2, les points de base A et K, les lignes MAJ et NKF, les
parallèles MN et JF, conduisent à une application (de la réciproque ?) du
Théorème de Reim ([8, théorème 124]). Par conséquent, les points A, K, F et
J sont cocycliques. Cela peut aussi être vu directement du fait que les
angles FJA et FKA sont égaux.
Le théorème du pivot de Miquel [14, 9] appliqué au triangle AFJ en
considérant F sur AF, E sur FJ et J sur AJ montre que le cercle C4 passant
par E, J et K est tangent à AJ en J. Le cercle C5 de centre M, en passant
par B, également en passe par I ([2, Livre II, p. 46, théorème XXI] et [12,
p.185]). Ce cercle étant orthogonal au cercle C1 [13, 20] est aussi
orthogonal à cercle C4 ([10, 1]) KEM est l'axe radical de cercles C1 et C4.
Des angles BKE = MAC = MBE, nous voyons que le cercle circonscrit de BKE
est tangent à BM en B. Donc le cercle C5 est orthogonal à ce cercle
circonscrit et, par conséquent, également à C1, M se trouvant sur leur axe
radical.
Par conséquent, MB = MJ, et J = I.
Conclusion : la corde de contact EF passe par le centre I du cercle
inscrit.
Remarque. Lorsque D est en B, c'est le théorème de Nixon [16]. 3. Théorème de Sawayama-Thébault Théorème 2. Par le sommet A du triangle ABC, un segment AD est mené, qui
coupe le côté BC en D. I est le centre du cercle inscrit dans le triangle
ABC. Soit P le centre du cercle tangent à DC, DA en E, F et le cercle
circonscrit de ABC, et soit Q le centre d'un nouveau cercle qui tangent à
PB, DA aux points G, H et tangent au cercle circonscrit de ABC. Alors, P, I
et Q sont colinéaires.
[pic]
Figure 4
La preuve.
Selon les hypothèses, QG ? BC, BC ? PE de sorte QG // PE. Par le lemme 1,
GH et EF passent par I. Les triangles DHG et QGH sont isocèles
respectivement en D et Q, DQ est
1. la médiatrice de GH,
2. la bissectrice intérieure en D du triangle DHG
Mutatis mutandis, DP est
1. la médiatrice de EF,
2. la bissectrice intérieure en D du triangle DEF.
Comme les bissectrices de deux angles adjacents sont perpendiculaires,
nous avons DQ ? DP. Par conséquent, GH // DP et DQ // EF.
Conclusion : en utilisant la réciproque du Théorème de Pappus ([17,
proposition 139] et [3, p. 67]), appliquée à l'hexagone PEIGQDP, les points
P, I et Q sont colinéaires. Références [1] N. Altshiller-Court, College Geometry, Barnes & Noble, 205.
[2] E. Catalan, Théorèmes et problèmes de Géométrie élémentaire, 1879.
[3] H. S. M. Coxeter and S. L. Greitzer, Geometry Revisited, Math. Assoc.
America, 1967.
[4] Archiv der Mathematik und Physik (1842) 328.
[5] B. C. Dijkstra-Kluyver, Twee oude vraagstukken in eén klap opgelost,
Nieuw Tijdschrift voor Wiskunde, 61 (1973-74) 134-135.
[6] B. C. Dijkstra-Kluyver and H. Streefkerk, Nogmaals het vraagstuk van
Thebault, Nieuw Tijdschrift voor Wiskunde, 61 (1973-74) 172-173.
[7] B. J. English, Solution of Problem 3887, Amer Math. Monthly, 110 (2003)
156-158.
[8] F. G.-M., Exercices de Géométrie, sixième édition, 1920, J. Gabay
reprint.
[9] H. G. Forder, Geometry, Hutchinson, 1960.
[10] L. Gaultier (de Tours), Les contacts des cercles, Journal de I'Ecole
Polytechnique, Cahier 16 (1813) 124-214.
[11] S. Gueron, Two Applications of the Generalized Ptolemy Theorem, Amer
Math. Monthly, 109 (2002) 362-370.
[12] R. A. Johnson, Advanced Euclidean Geometry, Dover, 1965.
[13] Leybourn's Mathematical Repository (Nouvelle série) 6 tome I, 209.
[14] A. Miquel, Théorèmes de Géométrie, Journal de mathématiques pures et
appliquées de Liouville, 3 (1838) 485-487.
[15] J. Neuberg, Nouvelle correspondance mathématique, 1 (1874) 96.
[16] R. C. J. Nixon, Question 10693, Reprints of Educational Times, London
(1863-1918) 55 (1891) 107.
[17] Pappus, La collection mathématique, 2 volumes, French translation by
Paul Ver Eecker, Paris, Desclée de Brouver, 1933.
[18] Y. Sawayama, A new geometrical proposition, Amer. Math. Monthly, 12
(1905) 222-224.
[19] R. Shail., A proof of Thébault's Theorem, Amer. Math. Monthly, 108
(2001) 319-325.
[20] S. Shirali, On the generalized Ptolemy theorem, Crux Math., 22 (1996)
48-53.
[21] R. Stark, Eine weitere Lo¨sung der Thébault