Exercice II : Chute verticale d'un ballon (5 points)

Polynésie 2008 EXERCICE II : CHUTE VERTICALE D'UN BALLON (5
points)
Correction © http://labolycee.org 1. Équation différentielle du mouvement
1.1. Valeurs des forces s'exerçant sur le système {ballon gonflé + bille} : Poids du système : P = M.g Poussée d'Archimède : [pic] = mair.g où mair est la masse d'air
déplacé par le ballon de baudruche de volume V (la bille ayant un
volume négligeable devant V)
or [pic] donc [pic] = (.V.g
La force de frottement fluide a une valeur proportionnelle au carré de la
vitesse vG donc f = k.[pic] 1.2. On applique la deuxième loi de Newton au système
{ballon gonflé + bille}, de masse M, dans le référentiel du laboratoire,
supposé galiléen : [pic] ( [pic] + [pic] + [pic] = [pic]
( M.g.[pic] - (.V.g.[pic] - k.[pic].[pic] = M.[pic]
en projection sur (y'y) : M.g - (.V.g - k.[pic] = M.[pic]
en divisant par M, il vient : [pic] = g - [pic].g - [pic] = [pic]
soit finalement : [pic]= [pic]
1.3. L'équation est bien de la forme : [pic] = A - B.[pic]
En identifiant les deux équations il vient : A = [pic] et B =[pic]
4. A = [pic]= 6,45 S.I.
Le terme [pic] n'a pas d'unité car (.V est homogène à une masse. Ainsi
l'unité de A est identique à celle de g. Comme g s'exprime en m.s-2 (voir
donnée énoncé) alors A s'exprime aussi en m.s-2. Ainsi : A = 6,45 m.s-
2.
1.5. Lorsque le système atteint la vitesse limite, vG = v[pic]= Cte,
donc[pic]= 0 et A - B.[pic]= 0
soit B = [pic].
6. B = [pic]= 0,853 S.I.
Dimension de B : [B] = [pic] donc B est homogène à l'inverse d'une
longueur et s'exprime en m-1. Ainsi : B = 0,853 m-1
2. Feuille de calcul du tableur
2.1. La règle permet d'étalonner la distance sur le document vidéo. Le
logiciel de pointage peut ainsi établir une correspondance entre les pixels
de l'image et les distances réelles. 2.2. À la date t = 0,200 s : vexp = [pic]
vexp = [pic]= 1,15 m.s-1.
2.3. Méthode d'Euler , avec vG = v : [pic] [pic] donc : [pic]= A -
B.[pic] ( (v = [A - B.[pic]] . (t
ainsi entre les dates t5 et t6 : v (t6) - v (t5) = [A - B.[pic](t5)] . (t6
- t5)
finalement : v (t6) = v (t5) + [A - B.[pic](t5)] . (t6
- t5)
v (t6) = 1,00 + [6,45 - 0,853 ( 1,00² ] ( 0,040
= 1,22 m.s-1
(en gardant une précision au centième) 3. Courbe v = f(t) obtenue par la méthode d'Euler 3.1. Allure de v = f(t) : 3.2. Graphiquement, l'accélération ay(t) de la bille est égale au
coefficient directeur de la tangente au graphe vy = f(t) car : ay(t)
=[pic] ; ici, avec les notations de l'énoncé : a(t) =[pic].
Durant le régime transitoire, le coefficient directeur de la tangente au
graphe v(t) diminue au cours du temps donc l'accélération diminue au cours
du temps (la vitesse augmente de moins en moins vite).
En régime permanent, la tangente est horizontale donc son coefficient
directeur est nul. La valeur de l'accélération est nulle et la vitesse de
la bille est constante.
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[pic] [pic] [pic] [pic] y' y t ( vlim v G Régime transitoire Régime permanent